言語理論とコンパイラ

第三回: 正規表現と有限オートマトン

2005年 5月 6日

AGU

© 2005 Martin J. Dürst 青山学院大学

宿題 (提出不要)

先週の終わり

文法 Type 言語 オートマトン
句構造文法 0 句構造言語 チューリング機械
文脈依存文法 1 文脈依存言語 線形拘束オートマトン
文脈自由文法 2 文脈自由言語 プッシュダウンオートマトン
正規文法 3 正規言語 有限オートマトン

正規言語は字句解析の時に使う。

今週の展望

これらは全て同じ力を持って、正規言語を定義・受理する

有限オートマトン

(automaton はギリシア語で、複数は automata)

有限オートマトンの状態遷移図

有限オートマトンの状態遷移図

動作関数
a b
A B A
B C A
C C A

有限オートマトンに必要な物

有限オートマトン
決定性 非決定性
同時に 一つの状態 複数の状態
受理条件 状態が受理状態 状態の一つ以上が受理状態
ε 遷移 不可 可能
動作関数 δ: Q × Σ → Q δ: Q × (Σ ∪ {ε}) → 2Q

NFA から同等の DFA への変換

アルゴリズムの原理:

全ての DFA は NFA でもある。全ての NFA は同等の DFA に変換できる。

よって、DFA と NFA の受理能力が等しい。

実装は DFA の方が簡単が、テーブルは大きくなる恐れがある。

NFA から同等の DFA への変換の一例

動作関数
ε 0 1
S {A} {} {}
A {} {A,C} {B}
B {} {} {A}
C {} {} {}

DFA の最小化

ある DFA から同等の最小の DFA を次の通りに作れる:

  1. 状態を受理状態と非受理状態の二つの集合に分ける
  2. それそれの状態からどの記号でどの集合に遷移するかを調べる
  3. 現在の集合を、どの記号でも同じ集合に遷移する状態の部分集合に分ける
  4. 3. で変更がない時まで 2. から繰り返す

最小化によって効率よい実装ができるし、二つの有限オートマトンが同等であるかどうかも簡単に調べられる。

DFA の最小化の一例

線形文法

文法の簡単な規則
規則の形 名称
A → aB 左線形規則
A → Ba 右線形規則
A → a 定数規則

左線形文法: 左線形規則と定数規則しか含まない文法

右線形文法: 右線形規則と定数規則しか含まない文法

左・右線形文法はともに線形文法と言い、正規文法とも言う

(左) 線形文法と有限オートマトン

左線形文法と NFA の対応 (ε が考慮外):

右線形文法も同様 (語を右から読み込むと考えられる)

左線形文法と有限オートマトンの一例

有限オートマトンの状態遷移図

A → aB | bA

B → bA | a | aC

C → bA | a | aC

正規表現の形式定義

アルファベットΣ 上の正規表現と表す言語
正規表現 条件 言語 備考
ε, a a ∈ Σ {ε} 又は {a}
r|s r, s が正規表現 L(r|s) = L(r) ∪ L(s) 集合和
rs r, s が正規表現 L(rs) = L(r)L(s) 連結
r* r が正規表現 L(r*) = (L(r))* 閉含
(r) r が正規表現 L((r)) = L(r)

L(r) は r によって表されている言語。優先度は下の方が強い。

正規表現を定義する言語は文法で書けるが、正規表現は文法と違って規則は一つしか使わない。

実用化された正規表現

正規表現の便利な追加機能

正規表現の使い方による変更

正規表現から NFA へ (1)

正規表現に対応する NFA は正規表現の部分表現から再帰的に作られる。

ε と a に対応する NFA は初期状態一つと受理状態一つとそれを結ぶ ε 又は a と書かれた矢印。

r|s の NFA は r の NFA と s の NFA から次のようにつくる:

全体の初期状態から r と s の初期状態へと、r と s の受理状態から全体の受理状態へ ε で結ぶ

正規表現から NFA へ (2)

rs の NFA は r の受理状態と s の初期状態を ε で結んで、r の初期状態は rs の初期状態、s の受理状態は rsの受理状態。

r* の NFA は次のようにつくる:

全体の初期状態と r の初期状態、r の受理状態と全体の受理状態、全体の初期状態と全体の受理状態、そして r の受理状態と初期状態 (逆!) を ε で結ぶ。

NFA や DFA から正規表現を作るのも可能だが、複雑。

今週のまとめ

XML の DTD の要素内容モデル

(Element) Content Model ((要素) 内容モデル) の定義: http://www.w3.org/TR/REC-xml/#sec-element-content

(Element) Content Model ((要素) 内容モデル) の例:

<!ELEMENT div1 (head, (p | list | note)*, div2*)>

この内容モデルに相当する XML の部分の一例:

<div1><head>This is the Title</head>
<p>Short introduction...</p>
<div2>...</div2>
<div2>...</div2>
</div1> 

要素内容モデルは要素を字にした正規表現。

次回への宿題 (提出不要)

  1. 次の正規表現を NFA に変換して、NFA から DFA を作る。

    a(b|c)*a

  2. 1. の言語を定義する左線形文法を作る。
  3. Σ = {0, 1} の 0 が偶数の語を受理する DFA を作る。
  4. 2. の言語の正規表現を作る。