情報数学 I

第十二回: 数学的帰納法

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

テュールスト マーティン ヤコブ

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2005/Math%20I/lecture12.html

AGU

© 2005 Martin J. Dürst 青山学院大学

先週の宿題

提出: 1 月13日 (月曜日)、授業前、A4 一枚

father(x, y) が x が y の父であると同じように、mother, parent, grandparent, grandfather, grandmother 等の述語を使って、次のことを記述してください:

  1. 誰にも親がいる: ∀x: ∃y: parent(y, x)
  2. 誰かの父であるならその人の親である: ∀x: ∀y: father(x, y) → parent(x, y)
  3. 同じ人は父と母ではありえない: ∀x: ∀y: ¬father(x, y) ∨ ¬mother(x, y)
  4. 父の母は祖母である: ∀x: ∀y: ∀z: mother(x, y) ∧ father(y, z) →grandmother(x, z)

それ以外にも恒真であることを四つ記述して、何を記述したのかを説明してください。

述語論理式と量記号の性質

  1. ¬∀x: P(x) = ∃x: ¬P (x)
  2. ¬∃x: P(x) = ∀x: ¬P (x)
  3. ∀x: P(x) → ∃x: P (x)
  4. (∀x: P(x)) ∧ Q(y) = ∀x: (P(x) ∧ Q(y))
  5. (∃x: P(x)) ∧ Q(y) = ∃x: (P(x) ∧ Q(y))
  6. (∀x: P(x)) ∨ Q(y) = ∀x: (P(x) ∨ Q(y))
  7. (∃x: P(x)) ∨ Q(y) = ∃x: (P(x) ∨ Q(y))
  8. ∀x: P(x) ∧ ∀x: R(x) = ∀x: (P(x) ∧ R(x))
  9. ∀x: P(x) ∨ ∀x: R(x) → ∀x: (P(x) ∨ R(x))
  10. ∃x: P(x) ∨ ∃x: R(x) = ∃x: (P(x) ∨ R(x))
  11. ∃x: P(x) ∧ ∃x: R(x) ← ∃x: (P(x) ∧ R(x))
  12. P(x) が恒真 ↔∀x: P(x) が恒真

変数の使い方

束縛変数 (bound variable):
量記号を伴っている変数
自由変数 (free variable):
量記号を伴っていない変数
閉論理式 (closed formula):
自由変数を含まない論理式
作用領域 (スコープ、scope)
束縛変数の影響範囲。束縛変数をスコープ内に書き換えてもよい。

高階述語

1 階述語と違って、高階述語は述語の引数として述語を許す。

例: x は「y が z の父である」と知っている。
know (x, father(y, z))

数学的帰納法

(mathematical induction)

目的: 正の整数の全てについて何かを証明する

述語論理でいうと正の整数において ∀n: P(n) を証明したい。

帰納 (induction): 少数の事実から一般の原理を推測する

演繹 (deduction): 一般の原理から特定な場合を推測する

数学的帰納法の二つのステップ

  1. P(0) が成り立つことを証明する (基底の証明)
  2. P(k) が成り立てば P(k+1) も成り立つことを証明する (帰納の証明)

数学的帰納法の種類・変更

情報テクノロジーでの数学的帰納法の応用

宿題

次の証明のどこがおかしいのかを見つけてください。