情報数学 I

第四回: 論理関数とその変換と単純化

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2007/Math1/lecture4.html

今日の目標

論理関数と論理式を操る

今日の内容

先々週のまとめ、宿題
命題論理の性質
整論理式、論理関数、双対原理
真理表から論理式への変換
標準形の作り方
論理式の単純化

先々週のまとめ

パスカルの三角形、組み合わせ、部分集合の数の関係
階乗と単位元
命題、真と偽
論理演算: 論理積 (かつ)、論理和 (又は)、論理否定 (ではない)
論理式、優先度、真理表

先々週の宿題

パスカルの三角形の一ヶ所の直接の計算の証明

[都合により削除]

追加: 組合わせの式の理由と順列

_nC_m = n!/m!·(n-m)! を直感的に分かろう!

順列 (permutation): n 個の違うものから m 個を順番を考慮して選択するのはなん通り?

_nP_m = n·(n-1)·(n-2)·...·(n-m+2)·(n-m+1) = ∏ⁿ_i=n-m+1 i = n!/(n-m)!

_nC_m は _nP_m から計算ができる: 要素が同じで順番が違う数で割る

_nC_m = _nP_m / _mP_m = n!/(n-m)! / m!/(m-m)! = n!/m!(n-m)!

論理演算の復習

		論理和	論理積	論理否定
		又は	かつ	でない
		conjunction	disjunction	negation
		or	and	not
優先度		低	中	高
`A`	`B`	`A` ∨ `B`	`A` ∧ `B`	¬`B`
F	F	F	F	T
F	T	T	F	F
T	F	T	F
T	T	T	T

先々週の宿題: 命題論理の性質

[都合により削除]

整論理式

(well-formed formula, WFF)

目的: 論理式をなんとなく作ったが、(文法を) 明確にしたい

次のものは整論理式:

命題や命題変数
W と V が整論理式である場合、次のものも整論理式である:
- (W)
- ¬W
- W ∧ V
- W ∨ V
この定義に当てはまらもの以外は整論理式ではない
(注: 授業の後半に新たな論理演算子が追加される)

論理関数

(ブール関数、Boolean function)

0個以上の論理引数 (ブール引数) から真偽値を返す関数

論理引数は真と偽の値しか取らないので論理関数は少ない

論理演算の双対原理

(duality principle)

論理演算の性質を調べてみると、ある性質で「∧」と「∨」、それに「T」と「F」を入れ代えると結果も性質として成り立つ。

これは一般に成り立つ。∧ と ∨ の真理表で確かめて証明が可能。

これを双対原理という。性質を覚えるために役に立つ。

性質を使った式の変更 (簡略化)

(A ∨ ¬B) ∧ B

真理表から論理式へ

次の真理表 (論理関数) が与えられている

`A`	`B`	`C`	?
F	F	F	F
F	F	T	T
F	T	F	F
F	T	T	T
T	F	F	T
T	F	T	T
T	T	F	F
T	T	T	F

この真理表に相当する論理関数を論理式で表しなさい。

標準形

加法標準形 (選言標準形、disjunctive normal form): 変数の (否定の) 積の和

乗法標準形 (連言標準形、conjunctive normal form): 変数の (否定の) 和の積

標準形の性質:

簡単に作られる
どの真理表 (論理関数) に対しても作られる
式の深さは浅い (回路で高速に実装できる)
式が大きくなる可能性がある (回路で場所を取る)

標準形作成

(加法標準形の場合; 乗法標準形は双対原理を使って同等)

真理表に結果が T の行が論理和でつなぐ標準形の項になる。
各項において、全部の変数の論理積を作る。
その行に変数が T であるときは変数をそのまま使うが、変数が F であるとき変数を否定する。

得られる式はなぜ正しいのか:

それぞれの項が積であって、この行の値の場合しか真にならなくて、他の全ての行の値の場合には偽になる。
全体の式は和であるから、どちらか結果が真の行の値の場合でも真、その他の全ての行の場合に偽になる。

標準形作成の例

`A`	`B`	`C`	?	加法標準形の項
F	F	F	T	`¬A` ∧ ¬`B` ∧ ¬`C`
F	F	T	T	`¬A` ∧ ¬`B` ∧ `C`
F	T	F	F	-
F	T	T	F	-
T	F	F	F	-
T	F	T	T	`A` ∧ ¬`B` ∧ `C`
T	T	F	F	-
T	T	T	T	`A` ∧ `B` ∧ `C`

全体の結果: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧¬C

論理関数の単純化の方法

標準形の式の操作
カルノー図表 (Karnaugh map)
クワイン・マクラスキー法 (Quine-McClusky method)

三つは基本的に同じことをやるが、使う｢道具」(式、図、表) が違う。

下の二つの方法は標準形の構造 ((否定) の積の和等) を保つ。違う構造でもっと単純にできる例もある。

論理関数の単純化: 式の操作

あらゆる性質の適用を試してみて、簡単化する
一番多い: 一つの因子の否定の有無だけ違う二つの項を見つけて、一つの項にする。

例: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ⇒ A∧C∧ (B ∨ ¬B) ⇒ A∧C

以前のスライドの式全体: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧¬C ⇒ A∧C ∨ ¬A∧¬B

注意: 複数の単純化の道で、複数の結果がありうる。複数をやってみるが、混乱しないように注意。

論理関数の単純化: カルノー図表

二次元の真理表を作る。次元毎に変数の半分ぐらいを与える。
真理表の値の順番を隣接するものができるだけ似ているように変える。
真理値表の T のところだけ記入する (F は省略)。
真理値表に隣り合っている二つの T を線で囲む。両方の端にある枠も隣り合うと見なす (円筒やトーラス)。
二つの線で囲んだところが隣り合ったら別の色の線で囲む。できる限り二つ、四つ、八つ等の T を線で囲む。それそれの囲みが単純化した式の一部に当たる。
全ての T が囲まれているようにできるだけ少ない囲みでを選んでそれに相当する式を結果として書く。(複数の結果もありうる)

カルノー図表の例

今週の宿題

提出: 来週の土曜日 (11月 3日)、22:00 (厳守)、Moodle にて。形式はプレーンテキスト。ファイル名は solution4_xxxxxxxx.txt (例, メモ帳など; xxxxxxxx は八桁の学籍番号)

第一問:

二つの変数 (例: A, B) で可能な論理関数を全て表に列挙してください。(一行に一関数)
その関数毎にできるだけ簡単な式を見つけてください。

解答例:

`A` = F `B` = F	`A` = F `B` = T	`A` = T `B` = F	`A` = T `B` = T	簡単な式
F	F	F	F	F
F	F	F	T	`A` ∧ `B`
F	F	T	F	?
?	?	?	?	?

説明: 例として、上のテーブルの三行目は次の真理表に相当する。同色の部分は同じもの。

`A`	`B`	`A` ∧ `B`
F	F	F
F	T	F
T	F	F
T	T	T

第二問:

四つの変数 (例: A, B, C, D) の論理関数を一つ、サイコロ等を使って作ってください。
その論理関数の二つの標準形と一つ以上の単純化を計算しなさい。