データ構造とアルゴリズム

第五回 (2008年10月 24日)

分割統治法、マージソート

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2008/DA/lecture5.html

Martin J. Dürst

© 2008 Martin J. Dürst 青山学院大学

目次

• 先回のまとめ・演習・宿題
• 整列の重要性
• 単純な整列法
• Ruby の繰返し
• 分割統治法
• マージソート

先回のまとめ

• 順位キューは大事な抽象データ型
• 配列や連結リストによる実装は効率悪い
• ヒープでは最優先の項目が完全二分木の根に出現
• ヒープソートによって整列が可能

前回からの宿題

• ヒープの合併を実装しなさい
  • 小さい方のヒープの項目を大きい方に追加
  • 二項ヒープ (binomial heap)
• 情報テクノロジーでの整列 (sort) の応用を五つ考えなさい

整列の重要性

• 出力の様々な整理
• 検索 (例: 二分探索) の前提
• アルゴリズムの部品

単純な整列方法

• バブル整列法 (bubble sort)
• 選択整列法 (selection sort)
• 挿入整列法 (insertion sort)

Ruby の様々な繰返し

• 一定数の繰返し
• 指数を使った繰返し

一定数の繰返し

構文:

回数.times do
  # 何かの作業
end

応用例:

(length-1).times do
  # bubble
end

指数を使った繰返し

構文:

出発値.upto 目的値 do |指数変数|
  # 指数変数を使った作業
end

応用例:

sum = 0
1.upto 100 do |i|
  sum += i
end

バブル整列法

(bubble sort)

• 隣接の項目を比較、交換
• 配列の先頭から最後までで一つのパス
• 必要なパスの数が n-1
• 計算量は O(n²)

改良:

• 交代で両方向にバブル
• 最後の交換点を記憶、交換のチェックの範囲を限定

選択整列法

(selection sort)

• 配列の先頭に整列済みの部分を徐々に拡大
• 整列済みでない最小の項目を繰返し検索、選択
• 整列済みの部分の直後の項目と最小の項目を交換
• 交換の回数は O(n)
• 比較の回数と全体の計算量は O(n²)

挿入整列法

(insertion sort)

• 配列の先頭に整列済みの部分を徐々に拡大
• 整列済みの部分の直後の項目の場所を整列済みの部分に探す
• 場所を空けるために整列済みの項目の一部をずらす
• 計算量は (最悪で) O(n²)
• 既に殆ど整列されたデータの場合に有利

改良: 番兵 (sentinel) の使用: 最初の項目の前に全ての項目より小さいものを設置

分割統治法

(divide and conquer, ラテン語: divide et impera)

• 軍事戦略や戦術の用語
• 一つの大問題を複数の小問題に分割
• プログラミング一般の大事な原則
• アルゴリズムやデータ構造の一つの設計方針

マージソート

(merge sort)

• 整列対処を再帰的に二分割
• 分割したものから整列
• 項目数一の場合、整列済み
• 分割し、整列したものを併合 (merge) で統合

併合

(merge)

• 2 ウェイ併合 (two-way merge) とマルチウェイ併合 (multi-way merge)
• 二以上の整列済みの列から一つの整列済みの列を作成
• 入力の列のどちらか小さい方の項目を次々と選択
• 最後にどちらかの列の項目が残るのでコピー

マージソートの計算量

整列の計算量

• 単純な整列法以外、整列の計算量は O(log n) が多い
• 整列では比較と移動が基本操作
• n 個のデータの場合、異なる順番は n!
• 一つの比較では異なる順番を最大で半分に減らされる
• 最低の比較の数が log (n!)

マージソートの特長

• メモリが二倍必要
• 内部より外部メモリに最適
• 外部メモリ:
  • パンチカード
  • 磁気テープ
  • ハードディスクのファイル

次回のための準備

• 先週と今週の整列法を線形探索で使った方法で調べなさい