データ構造とアルゴリズム

第八回 (2008年11月 21日)

平衡木と二次記憶装置への応用

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2008/DA/lecture8.html

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

© 2008 Martin J. Dürst 青山学院大学

目次

• 前回の残りとまとめ
• 平衡木
• 2-3-4 木
• 赤黒木
• AVL 木

先回のまとめ

• 抽象データ型の辞書
• 二分木とその辿り方
• 探索木での探索・挿入・削除

探索木の実装

• 子が無い場合、特殊なノード (NilNode) を共有
• Ruby での実装: 7bintree.rb

平衡木

• 一般の探索木は最悪、連結リストの形を取る
• 乱数などで分割項目を決めることは不可能
• 完全二分木の場合、追加・削除の手間が過大

解決策: 完全ではないがある程度平衡性を保つ木

トップダウン 2-3-4 木

(top-down 2-3-4 tree)

• 各ノードの子数は 2、3 または 4
• 子数が k の場合、ノードに k-1 のデータ項目を保持
• ノード内のデータ項目のキーは部分木の分岐点
• 木の高さは一定
• それによって操作が O(log n)

赤黒木

(red-black-tree)

• 2-3-4 木の二分木での実装方法として定義可能
• 元の木の辺は黒
• 3子や4子のノードは複数ノードに分割、その内部の辺は赤
• 二つの赤の辺は連続不可能
• 黒の辺だけを数えると木の高さが一定
• 最大の高さは最小の高さの二倍以内

AVL 木

(AVL-tree)

• Adelson-Velskii と Landis (Адельсон-Вельский と Ландис) が 1962 年に提案
• 最古の平衡木 (二分木)
• 制約: どの頂点 (ノード) でも、左と右の部分木の高さの差は 1 以下
• 高さが 1.44 log₂ n に限定
• 検索は赤黒木より速い
• 挿入・削除は赤黒木より遅い

二次記憶装置

(secondary storage)

• 内部メモリは
  • ワード単位でアクセス
    (現在のマシンで 32ビットや64ビットなど)
  • アクセスは非常に速い (ナノ秒単位)
• 二次記憶装置 (ハードディスクなど) は
  • 一気に沢山のデータにアクセス
    (1ページ、512バイト~4096バイトなど)
  • アクセスは非常に遅い (ミリ秒単位)

(二次記憶装置 (テープ) は線形アクセス限定で論外)

B 木

(B-tree)

• 2-3-4 木の変形と考えられる
• 1ページを1ノードとして使用
• ページごとのキーの容量を最大化
• ページごとの最低のキーの数は容量の半分
• キー以外のデータを一番下の層だけに配置

まとめ

• 平衡木によって辞書の基本操作は全て O(log n) で可能
• 二次記憶装置で B 木はデータベースなどで非常に重要