情報数学 I

第六回 (2008年11月7日)

関係

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2008/Math1/lecture6.html

© 2005-8 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• 先回の宿題
• 論理関数
• 命題論理の基礎
• 関係の基本

先回の宿題

二つの変数 (例: A, B) で可能な論理関数を全て表に列挙し、それぞれの関数を NOR だけの式で書きなさい。

宿題の解き方

• 先回までの宿題 (二変数の全ての論理関数を ∨, ∧, ¬ で表す) で ∨, ∧, ¬ を NOR や NAND で表した式に置き換える
• ある論理関数の否定を取って、これを今までできたものから ∨ (又は ∧) で作れるのか見てみる
  例: TFFT → FTTF → FFTF ∨ FTFF → NOR(NOR(NOR(A), B), NOR(NOR(B), A))
• プログラムで解いてみる
  • 以上の方法に沿ったプログラム
  • あらゆる式を作り、評価する

宿題を解くプログラム

• プログラム言語は Ruby
• 式を集合 (内部は配列) で表現
  例: NOR(NOR(A), B) → {{A}, B}
• 単純な式から複雑な式を作成
  • 一番単純な式は定数や変数だけ: T, F, A, B
  • これを集合にし、E₀ = {T, F, A, B} とする
  • NOR (又は NAND) が一段階だけの式の集合は E₀ のベキ集合から空集合を引いて、E₀ を足すことでできる
  • 一般には E_i+1 = (P(E_i)-{})∪ E_i
  • 式の数が急に爆発するため、各段階で同一の結果の式の内に一つだけ残す

先回の復習

• NAND, NOR, XOR
• 論理回路の役割と書き方
• 記号論理 (→ と ↔)

「同値である」と「ならば」の性質

1. 含意の除去: A→B = ¬A∨B = ¬(A∧¬B)
2. 同値の除去: A↔B = (A→B)∧(B→A) = (A∧B)∨(¬A∧¬B)
3. 推移律: ((A→B) ∧ (B→C)) → (A→C),
   ((A↔B) ∧ (B↔C)) → (A↔C)
4. 背理法: A→¬A = ¬A
5. 対偶: A→B = ¬B→¬A
6. 同値の性質: A↔B = ¬A↔¬B, ¬(A↔B) = (A↔¬B)
7. 含意の性質: T→A = A, F→A = T, A→T = T, A→F = ¬A

性質の応用

次の式を単純化しなさい (宿題、提出なし)

• (A→B) →(A ∧ B)
• (E∧F)→(E∨F)
• A→(B∨C) = (A→B)∨(A→C)
• ¬C→(D→C)

恒真と恒偽

• 常に真の式を「恒真式」と呼ぶ。トートロジー (tautology) ともいう。
• 常に偽の式を「恒偽式」と呼ぶ。

関係

• 関係の情報テクノロジーでの役割
• 関係の定義
• 関係の表現
• 関数と関係

関係の情報テクノロジーでの役割

• 関係データベース (relational database)
• 関係とグラフ
• 関係と論理演算

順序対、n 項組

• 順序対 (ordered pair) は二つのもの a と b を順序付けたもので、(a, b) で表す
• 二つの集合 A と B の直積集合 (Cartesian product set) A × B は次のように定義されている:
  A × B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B}
  (集合の大きさ: |A × B| = |A|·|B|)
• A × A の代わりに A² と書くこともある
• n 項組は順序対の拡張。n 字組とも言う。
• 英語で一般的に n-tupple と言うが、数が固定されていると triple (三字組), quadruple, quintuple, sextuple, septuple, octuple, nonuple と言います

関係の定義

• 二つの集合 A と B の関係 R (A から B への関係とも言う) は A × B の部分集合
• 例: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {3, 4},「割り切れる」対を R の元とすると
  R = {(3, 3), (6, 3), (9, 3), (4, 4), (8, 4)}
• (a, b) ∈ R を aRb とも書く
• A = B の場合には 「A の中の関係」、「A の上の関係」や「A における関係」という
• 二つの集合の関係は 2 項関係 (binary relation) と言う。3 項関係 (ternary relation) などもある。

関係と関数

• n 項関係は n 項組から真理値への関数
• 関数はある入力に対し一つだけの出力
• n 項関係は n-1 変数の「複数の出力が許されている」関数 (多値関数) に相当
• n-1 変数の関数は n 項の関係

関係の表現

• 行列表現:
  A を縦、B を横 にして、関係のある場合に 1、そうでない場合に 0 を書く
• 表としての表現:
  一列目を A、二列目を B にして、行ごとに関係の元を列挙する
• 有向グラフ表現:
  A, B の元を節として、(a, b) が関係に属する場合に a から b への矢印を書く

逆関係

(inverse relation)

• (二項) 関係の逆関係は順序対を逆にした関係
• R の逆関係を R^-1 と書く
• xRy ⇔ yR^-1x

関係の合成

• A から B への関係 P、B からC への関係 Q に対して P と Q の合成 (composition) が定義されている
• P と Q の合成 R の場合 R = P∘Q と書く
• R = {(x, z) | (x, y) ∈ P, (y, z) ∈ Q}
• 行列表現では合成は通常の行列の積と相当
  (但し、掛け算と足し算の代わりに論理積と論理和を使う)

次回の予定

• 次回は30分間のミニテストを行う
• 今までの授業の内容の範囲
• 問題の例:
  • 用語の説明と使い方 (英語を含む)
  • 論理式の計算や単純化
  • 集合と関係