情報数学 I

第七回 (2008年11月 14日)

関係の応用

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2008/Math1/lecture7.html

AGU

© 2005-8 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

先回のまとめ

関係の合成の式

関係の種類

A の中の関係 R に対して次の性質がありうる:

  1. 反射的 (reflexive): xRx; xA ⇒ (x, x) ∈ R
  2. 対称的 (symmetric): xRyyRx;
    (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
  3. 推移的 (transitive): xRyyRzxRz
  4. 反対称的 (antisymmetric): xRyyRxx=y

反射的関係

(reflexive relation)

対称的関係

(symmetric relation)

反対称的関係

(antisymmetric relation)

推移的関係

(transitive relation)

関係の性質の組み合わせ

関係の性質の組み合わせ (計16個) のそれぞれの可能性と(可能な場合) 例を考えると次の表が作れる。

例は * の場合 {a, b, c, d} の中の関係、それ以外は
{a, b, c} の中の関係

反射的 対称的 推移的 反対称的 可能性・例など
T T T T {(a,a), (b,b), (c,c)}
T T T F 直積集合など; 同値関係; {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)}
T T F T 不可能
T T F F {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
T F T T 半順序関係; {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}
T F T F {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d), (d,d)}*
T F F T {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c)}
T F F F {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a)}
F T T T {(a,a), (c,c)}
F T T F {(a,a), (a,c), (c,a), (c,c)}
F T F T 不可能
F T F F {(a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
F F T T {(a,a), (a,c)}
F F T F {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d)}*
F F F T {(a,b), (b,c)}
F F F F {(a,b), (b,c), (b,a)}

 

同値関係と同値類

推移的閉包

int change = 1;
while (change) {
    change = 0;
    /* process data */
    if (/* data changed */)
        change = 1;
}

今回のまとめ