情報数学 I

第十二回: 証明の方法 (2010年 1月 8日)

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2009/Math1/lecture12.html

© 2006-10 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• これからの予定
• 前回の復習
• 証明の方法
• 授業改善のための学生アンケート

参考書

参考書のリスト

これからの予定

• 1月15日 (金): 最後の授業 (補講)
• 1月22日: 期末試験 11:10-12:35
• 期末試験の内容:
  授業・プリントの全ての内容
• 過去の試験の例:
  • 2005年度, 2006年度, 2007年度
  • 推奨閲覧ソフト: Opera
  • メニューで表示→スタイル→solutions で解答例 (一部欠落) が見られる

前々回の宿題の解答

Q: Why do computer scientist always think Christmas and Halloween are the same ?

質問: なぜ情報テクノロジーの専門家はクリスマスとハロウィーンをいつも誤解するか。

もう一つの冗談

質問: 情報テクノロジーで還暦は何歳か

64 = 2⁶

前回の復習

• 記号論理の種類: 命題論理、述語論理など
• 述語は命題と違って、引数を取る
• 述語では命題より一般的な記述、推論が可能
• 全称限量子 (∀) と存在限量子 (∃)

量記号の復習

量記号の場合の注意点:

• 全集合の把握
• 書き方 (コロン、括弧など)
• 使用する述語の定義
• 自由変数の存在

量記号の性質の具体例

• ∀x: P(x) ∧ ∀x: R(x) = ∀x: (P(x) ∧ R(x))
  例: 全ての学生において、30歳以下である、かつ全ての学生において、理工学部在籍である = 全ての学生において、30歳以下かつ理工学部在籍である
• ∀x: P(x) ∨ ∀x: R(x) → ∀x: (P(x) ∨ R(x))
  左から右への例: 全ての学生において、30歳以上である、又は全ての学生において、理工学部在籍である → 全ての学生において、30歳以上又は理工学部在籍である
  右から左への反例: 全ての学生において、男性である又は女性である
  しかし、全ての学生が男性である、又は全ての学生が女性であるが偽
• ∃x: P(x) ∨ ∃x: R(x) = ∃x: (P(x) ∨ R(x))
  例: ある学生において、東京都出身である、又はある学生において神奈川県出身である = ある学生において、東京都出身である又は神奈川県出身である
• ∃x: P(x) ∧ ∃x: R(x) ← ∃x: (P(x) ∧ R(x))
  右から左への例: ある学生において、広島県出身であるかつ女性である → ある学生において、広島県出身である、かつある学生において、女性である
  左から右へな反例: ある学生において、北海道出身であるかつある学生において女性である
  ある学生において北海道出身であるかつ女性であるとは限らない

証明の大切さ

• 数学の中心的道具
• 情報テクノロジー
  • データ構造の性質の証明
  • アルゴリズムの正しさや性質の証明
  • プログラムの正しさや性質の証明
  • プログラムの変換の正しさの証明

配布テキストについて

• (有名な) 言語理論の教科書から
  言語理論やオートマトン理論についての語句は無視してよい
• 一般的で分かりやすいので配布
• たまに違う「方言」を使用
• 試験の範囲に含む

どこまで証明すればよいか

• 直感
• (プログラムの) テスト
• 証明
  • 粗い証明
  • 細かい証明

証明の方法

• 演繹的証明 (deductive proof, proof by deduction)
• 帰納的証明 (inductive proof, proof by induction)
• 背理法 (proof by contradiction)
• 反例による証明 (proof by counterexample)
• 集合についての証明 (proof about sets)
• 列挙による「証明」(proof by enumeration)

証明と記号論理

• 演繹的証明: (H ∧ (H→C)) ⇒ C など
• 帰納的証明: (S(b) ∧ ∀n≥b: S(n)→S(n+1)) ⇒ ∀n≥b: S(n)
• 背理法: (S→¬S) ⇒ ¬S
• 反例による証明: ∃x: ¬P (x) ⇒ ¬∀x: P(x)
• 列挙による「証明」: 例: 真理表

演繹と帰納

演繹 (deduction): 一般の原理から特定な場合を推論する

帰納 (induction): 少数の事実から一般の原理を推測する

数学的帰納法 (mathematical induction)

目的: ある構造の部分の (殆ど) 全てについて何かを証明する

「ある構造」は整数が多いが、木などもありうる

数学的帰納法は一般の分類では帰納では無く演繹である

情報テクノロジーでの数学的帰納法の応用

• アルゴリズムやデータ構造の設計や性質の証明
• プログラムについての証明
  
  • 繰り返し
  • 再帰

数学的帰納法の二つのステップ

1. 基底 (base)
2. 帰納 (induction)

整数の場合:

1. P(0) が成り立つことを証明する
2. P(k) が成り立てば P(k+1) も成り立つことを証明する

数学的帰納法の種類・変更

• 基底を P(0) ではなくて P(1) や P(2) などにする
• P(n+1) の証明に k≤n の一部又は全てのP(k) を使う
• 一部の整数に限る (例えば偶数だけ、2ⁿ など)
• 整数そのものではなく、整数で整理できるものに応用する
• 枝分かれや他の構造を許す (条件: (半)順序)

演習題

次の証明のどこがおかしいのかを見つけてください。

• 全てのお互いに平行ではない平面上の直線 n 本は全て一つの点を共有する。

  証明:

  1. 基底: n=2 の場合に明らかである。
  2. 帰納: n+1 本の場合、最初の n 本にも、最後の n 本にも共通点があるので全ての n+1 本に共通点がある。

授業改善のための学生アンケート

お願い: できるだけ自由記述を使って、具体的に書いてください