情報数学 I

第四回 (2010年10月15日)

組み合わせ、命題

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2010/Math1/lecture4.html

今日の目標

論理関数と論理式を操る

今日の内容

Moodle について
前回の宿題
組み合わせとパスカルの三角形
階乗と単位元
命題
論理式の作り方と使い方
論理演算
今週の宿題

Moodle について

先週の宿題 (1, 2)

[都合により削除]

先週の宿題 (3)

[都合により削除]

先週の宿題 (4)

[都合により削除]

先週の宿題 (5)

[都合により削除]

パスカルの三角形

(Pascal's triangle)

一行目の (0 ... 0) 1 (0 ... 0) からスタートし、左上と右上の数を足し合わせると出来る。

                  1
                1   1
              1   2   1
            1   3   3   1
          1   4   6   4   1
        1   5  10  10   5   1
      1   6  15  20  15   6   1
    1   7  21  35  35  21   7   1
  1   8  28  56  70  56  28   8   1

パスカルの三角形の性質

インドで紀元前から知られ、多くの性質が知られている

ここで次の関係や性質を証明:

部分集合の数とパスカルの三角形
パチンコ玉の道の数とパスカルの三角形
部分集合と組み合わせ
パスカルの三角形の一ヶ所の直接の計算

部分集合の数とパスカルの三角形

集合 A で |A| = n の場合、部分集合の数
|{B|B⊂Aかつ|B|=m}| を _nC_m と書く
_nC_n = 1 (全集合の大きさの部分集合は 1)
_nC₀ = 1 (空の部分集合は空集合一つ)
_nC_m = _n-1C_m-1 + _n-1C_m を n>0, 0<m<n の場合に証明できればよい (証明の手法: 数学的帰納法)
|D|=n-1 から |A| = n の集合を作ると元が一つ増え、これを g と書く
A の g を含まない大きさ m の部分集合は D の大きさ m の部分集合と数が同じ
A の g を含む大きさ m の部分集合は D の大きさ m-1 の部分集合と数が同じ

パチンコ玉の道の数とパスカルの三角形

パスカルの三角形の列で、数の間にピンをおく
最上の 1 から玉を流す
違う道の数を数える
ある高さまでの違う道の数の合計は 2ⁿ
ある場所までの違う道の数はパスカルの三角形の数と同じ

部分集合と組み合わせ

組み合わせ論は情報テクノロジーにおいて大切
組み合わせ論は色々な条件、制限の場合の「違う」ものを数えて論じるのが目的
単に「組み合わせ」というとある集合からだぶりのない様にある数のものを順番を気にせずに選ぶという意味
これはちょうど部分集合の数と同じ
組み合わせは英語で combination と言って、これは _nC_m の C の由来
他に順列 (permutation)、重複順列 (repeated permutation)、重複組み合わせ (repeated combination) などが存在

パスカルの三角形の一ヶ所の直接計算

_nC_m = n!/m! (n-m)!
```
 
   
   
   
   
   
  
```

階乗

(factorial)

書き方: n!

定義: n! = 1 · 2 · ... (n-1) · n = ∏ⁿ_i=1 i

問題:

1! = 1

0! = 1

演算の単位元

(unit element, identity element, neutral element)

足し算の単位元: 0
掛け算の単位元: 1
集合和の単位元: {}
集合積の単位元: U

複数の演算を行うプログラムの構造

具体例 (合計):

int sum = 0;
for (i=0; i<end; i++)
    sum += array[i];

一般の構造

C プログラム言語の場合:

type result = 単位元;
for (i=0; i<end; i++)
    result = result 演算子 array[i];

Ruby の場合:

array.inject(単位元) do |memo, next|
  memo 演算子 next
end

命題

(proposition 又は statement)

正しいか正しくないかが客観的に決められる文
(正しいものでも正しくないものでも良い)

命題ではないのは主観的な記述、質問、一部が決定されてない、代名詞や変数を含む場合など

命題の例と反例

例:

2 掛ける 2 が 4 である。
10 が 5 より小さい。
明日 (2010/10/16) は淵野辺に雨が降る。

反例 (命題ではない):

彼女の誕生日は今日 (2010/10/15) である。
理由: 彼女が未定
今朝いつ起きたか。理由: 質問
納豆は美味しい。理由: 主観的な意見

命題の真偽

命題は正しいか正しくないかである。

「正しい」は「真」(しん、true) と言い、T、⊤ や 1 と書く

「正しくない」は「偽」(ぎ、false) と言い、F、⊥ や 0 と書く

真偽のプログラム言語での取り扱い

プログラム言語によって取り扱い方は違う

C の場合:
- 整数の 0 は偽に相当
- 0 以外の整数 (特に 1) は真に相当
- 真理値に整数の型が使われる。
Java の場合:
- 偽は false、真は true
- 整数 (int) と真理値 (boolean) は完全に別の型
Ruby の場合:
- 偽は false、真は true
- nil (空、何も無いを表す) は偽、それ以外の値は真

命題の演算: 「かつ」

二つの命題 A と B から次の命題が作成可能:

A かつ B (A and B)

「A ∧ B」、「A·B」や「A B」と書く

A ∧ B は A とも B とも真の場合だけ真、
その他の場合は偽

関数としても考えられる: AND(A, B)

真理表

(truth table)

命題の真偽を定義、証明などには真理表をよく使用:

「かつ」の真理表
`A`	`B`	`A` ∧ `B`
F	F	F
F	T	F
T	F	F
T	T	T

論理演算などの情報テクノロジーでの役割

実世界の事実のモデル化
プログラム言語の論理演算のモデル化
電子回路のモデル化

モデル化

実世界の事実の是非を命題でとらえる
事実の関係を命題の関係でとらえる
命題の関係を論理式で整理する
整理の結果を実世界に応用する

真理演算

論理演算子は一つ以上の命題から複合命題を作る。

一番よく使われる基本的な論理演算子は次:

「かつ」: and, A ∧ B (論理積、conjunction)
「又は」: or, A ∨ B (論理和、disjunction)
「でない」: not, ¬A (論理否定、negation)

論理和 (disjunction)

二つの命題 A と B から次の命題が作れる: A 又は B

「A 又は B」 (A or B) は A ∨ B (又はA+B) と書く。

A ∨ B は A とも B とも偽の場合だけ偽。

真理表で表すと次になる:

`A`	`B`	`A` ∨ `B`
F	F	F
F	T	T
T	F	T
T	T	T

論理否定 (negation)

「A ではない」(not A) は ¬A と書く。A', A, ~A と書くこともある。

¬A は A が真の場合に偽、偽の場合に真。

真理表で表すと次になる:

`A`	¬`A`
F	T
T	F

論理式の構成

論理演算子と命題 (変数) で論理式が作られる。

例: (A ∨ (¬B)) ∧ C

優先度と括弧の省略:

各演算子に優先度
優先度の高い順から演算が適用 (評価)
括弧は優先度が合わない時だけ必要

論理演算子の優先度は「¬」が「∧｣より優先、「∧｣が「∨」より優先

整論理式

(well-formed formula, WFF)

目的: 論理式の構成 (文法を) を明確化

次のものは整論理式:

命題や命題変数
W と V が整論理式の場合、
次のものも整論理式:
(W)、¬W、W ∧ V、W ∨ V

この定義に合わないものは整論理式でない
(注: 授業の後半に新たな論理演算子が追加)

論理式の評価の例

例: (A ∨ (¬B)) ∧ B

(¬B) の括弧が必要ない: (A ∨ ¬B) ∧ B

真理表で評価

`A`	`B`	`¬B`	`A` ∨ ¬`B`	`(A ∨ ¬B) ∧ B`
F	F	T	T	F
F	T	F	F	F
T	F	T	T	F
T	T	F	T	T

論理関数

(ブール関数、Boolean function)

0 個以上の論理引数 (ブール引数) から真偽値を返す関数

論理引数は真と偽の値しか取らないので論理関数は少ない

今週の宿題

注意: 次回は11月5日 (10月22日は海外出張、10月29日は青山際のため休講)

(提出なし) _nC_m = n!/m! (n-m)! を証明しなさい。
ヒント: 部分集合の足し会わせを参照
(提出なし) 論理演算の性質についてしらべなさい。
ヒント1: 集合演算の性質を参考に
ヒント2: 真理表を使って確認