情報数学 I

第五回 (2010年11月 5日)

論理関数とその変換と単純化

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2010/Math1/lecture5.html

今回の目標

論理関数と論理式を自由に操る

今回の内容

前回のまとめ、宿題
命題論理の性質
双対原理
真理表から論理式への変換
標準形とその作り方
論理式の単純化

前回のまとめ

パスカルの三角形、組み合わせ、部分集合の数の関係
階乗と単位元
命題、真と偽
論理演算: 論理積 (かつ)、論理和 (又は)、論理否定 (ではない)
論理式、優先度、整論理式、真理表、論理関数

前回の宿題

`A` = F `B` = F	`A` = F `B` = T	`A` = T `B` = F	`A` = T `B` = T
F	F	F	F	F
F	F	F	T	`A` ∧ `B`
F	F	T	F	`A` ∧ ¬`B`
F	F	T	T	`A`
F	T	F	F	¬`A` ∧ `B`
F	T	F	T	`B`
F	T	T	F	¬`A` ∧ `B` ∨ `A` ∧ ¬`B`; (¬`A` ∨ ¬`B`) ∧ (`A` ∨ `B`) [`A` xor `B`]
F	T	T	T	`A` ∨ `B`
T	F	F	F	¬(`A` ∨ `B`) [NOR(`A`, `B`)]
T	F	F	T	(`A` ∨ ¬`B`) ∧ (¬`A` ∨ `B`); ¬`A` ∧ ¬`B` ∨ `A` ∧ `B` [`A` ? `B`]
T	F	T	F	¬ `B`
T	F	T	T	`A` ∨ ¬`B`
T	T	F	F	¬ `A`
T	T	F	T	¬`A` ∨ `B` [`A` → `B`]
T	T	T	F	¬(`A` ∧ `B`) [NAND(`A`, `B`)]
T	T	T	T	T

パスカルの三角形の一ヶ所の直接の計算の証明

[都合により削除]

追加: 組合わせの式の理由と順列

_nC_m = n!/ (m!·(n-m)!) を直感的に分かろう!

順列 (permutation): n 個の違うものから m 個を順番を考慮して選択するのはなん通り?

_nP_m = n·(n-1)·(n-2)·...·(n-m+2)·(n-m+1) = ∏ⁿ_i=n-m+1 i = n! / (n-m)!

_nC_m は _nP_m から計算ができる: 要素が同じで順番が違う数で割る

_nC_m = _nP_m / _mP_m = n! / (n-m)! / (m!/(m-m)!) = n! / (m!(n-m)!)

論理演算の復習

		論理和	論理積	論理否定
		又は	かつ	でない
		conjunction	disjunction	negation
		or	and	not
優先度		低	中	高
`A`	`B`	`A` ∨ `B`	`A` ∧ `B`	¬`B`
F	F	F	F	T
F	T	T	F	F
T	F	T	F
T	T	T	T

前回の宿題: 命題論理の性質

[都合により削除]

論理演算の双対原理

(duality principle)

論理演算の性質を調べてみると、ある性質で「∧」と「∨」、それに「T」と「F」を入れ代えると結果も性質として成り立つ。

これは一般に成り立つ。∧ と ∨ の真理表で確かめて証明が可能。

これは双対原理という

性質を覚えるのに便利

性質を使った式の変更 (簡略化)

(A ∨ ¬B) ∧ B

真理表から論理式へ

次の真理表 (論理関数) が与えられている

`A`	`B`	`C`	?
F	F	F	F
F	F	T	T
F	T	F	F
F	T	T	T
T	F	F	T
T	F	T	F
T	T	F	T
T	T	T	F

この真理表に相当する論理関数を論理式で表しなさい。

標準形

加法標準形 (選言標準形、disjunctive normal form): 変数の (否定の) 積の和

乗法標準形 (連言標準形、conjunctive normal form): 変数の (否定の) 和の積

標準形の性質:

作成が簡単
どの真理表 (論理関数) に対しても作成可能
式の深さは浅い (回路が高速に実装可能)
式が大きくなる可能性がある (回路が場所を取る)

標準形の作成

加法標準形の場合 [乗法標準形の場合は [] 内 (双対原理使用)]

真理表に結果が T [F] の行だけに注目
注目の行で A, B, C,... 全ての変数の論理積 [和] を作成
その行で変数が F [T] のときだけ、変数を否定
標準形が注目した行の式 (項) の論理和 [積]

式が正しい理由:

各々の項が積 [和] で、変数の値が全部一着しないと T [F] にならない (他の全ての行の値の場合には F [T])
全体の式は和 [積] のため、どちらかの結果が T [F] の行の場合で T [F]、その他の全ての行の場合に F [T]

標準形作成の例

`A`	`B`	`C`	?	加法標準形の項	乗法標準形の項
F	F	F	T	`¬A` ∧ ¬`B` ∧ ¬`C`
F	F	T	T	`¬A` ∧ ¬`B` ∧ `C`
F	T	F	F	-	`A` ∨ ¬`B` ∨ `C`
F	T	T	F	-	`A` ∨ ¬`B` ∨ ¬`C`
T	F	F	F	-	¬`A` ∨ `B` ∨ `C`
T	F	T	T	`A` ∧ ¬`B` ∧ `C`
T	T	F	F	-	¬`A` ∨ ¬`B` ∨ `C`
T	T	T	T	`A` ∧ `B` ∧ `C`

加法標準形: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧¬C

乗法標準形: (A∨¬B∨C) ∧ (A∨¬B∨¬C) ∧ (¬A∨B∨C) ∧ (¬A∨¬B∨C)

論理関数の単純化の方法

標準形の式の操作
カルノー図表 (Karnaugh map)

二つは基本的に同じが、使う｢道具」(式、図) が違う。

カルノー図表は標準形の構造 ((否定) の積の和等) を保持

違う構造でもっと単純化できる例も存在

論理関数の単純化: 式の操作

あらゆる性質の適用を試してみて、簡単化
一番多い:
一つの因子の否定の有無だけ違う二つの項を見つけ、一つの項にまとめる。(これはカルノー図表でやる作業と類似)

例: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ⇒ A∧C∧ (B ∨ ¬B) ⇒ A∧C

以前のスライドの式全体: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧¬C ⇒ A∧C ∨ ¬A∧¬B

注意: 複数の単純化の道で、(式の構成が) 異なる結果が可能

論理関数の単純化: カルノー図表

二次元の真理表を作る。次元毎に変数の半分ぐらいを与える。
真理表の値の順番を隣接するものができるだけ似ているように変える。
真理値表の T のところだけ記入する (F は省略)。
真理値表に隣り合っている二つの T を線で囲む。両方の端にある枠も隣り合うと見なす (円筒やトーラス (ドーナッツ))。
二つの線で囲んだところが隣り合ったら別の色の線で囲む。できる限り二つ、四つ、八つ等の T を線で囲む。それぞれの囲みが単純化した式の一部に当たる。
全ての T が囲まれているようにできるだけ少ない囲みを選んでそれに相当する式を結果として書く。(複数の結果もありうる)
双対原理で F を使っても可能

カルノー図表の例

	`A`=F `B`=F	`A`=T `B`=F	`A`=T `B`=T	`A`=F `B`=T
`C`=F `D`=F	T	T	F	T
`C`=T `D`=F	F	T	T	F
`C`=T `D`=T	F	T	T	F
`C`=F `D`=T	F	F	F	T

今週の宿題

提出: 来週の木曜日 (11月11日)、22:00 (厳守)、Moodle にて。形式はプレーンテキスト。ファイル名は solution5_xxxxxxxx.txt (例, メモ帳など; xxxxxxxx は八桁の学籍番号)

第一問:

二つの変数 A と B で可能な論理関数を全て表に列挙しなさい。(一行に一関数)
その関数毎にできるだけ簡単な式を見つけなさい。

解答例:

`A` = F `B` = F	`A` = F `B` = T	`A` = T `B` = F	`A` = T `B` = T	簡単な式
F	F	F	F	F
F	F	F	T	`A` ∧ `B`
F	F	T	F	?
?	?	?	?	?

説明: 上のテーブルの三行目は次の真理表に相当する。同色の部分は同じもの。同様の真理表が合計 16個ある。

`A`	`B`	`A` ∧ `B`
F	F	F
F	T	F
T	F	F
T	T	T

第二問:

四つの変数 (例: A, B, C, D) の論理関数を一つ、硬貨等を使って作りなさい。その論理関数の二つの標準形と一つ以上の単純化を計算しなさい。