データ構造とアルゴリズム

第八回 (2011年12月2日)

平衡木

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2011/DA/lecture8.html

Martin J. Dürst

© 2008-11 Martin J. Dürst 青山学院大学

目次

• 前回のまとめ
• 2-3-4 木
• 赤黒木
• AVL 木
• B 木

前回のまとめ

• 辞書はキーを使って項目の探索、挿入、削除ができる抽象データ型
• 簡単な実装では一部の操作は O(n) 時間がかかる
• 二分木の実装では操作は全て平均で O(log n) で可能が、最悪の場合は O(n)
• 平衡木の例: トップダウン 2-3-4 木

トップダウン 2-3-4 木

(top-down 2-3-4 tree)

• 各ノードの子数は 2、3 または 4
• 子数が k の場合、ノードに k-1 のキーとデータ項目を保持
• ノード内のデータ項目のキーは部分木の分岐点
• 木の高さは一定
• 一番下の層には子がない (実装上、全部同一の空のノード)

2-3-4 木での探索

• 根から開始
• 現在の頂点で探索のキーが発見される場合、それに対応するデータ項目を返す
• 現在の頂点のキーによって、部分木を選択、再帰的に探索

2-3-4 木での挿入

• 基本動作: 最下層まで探索、キーとデータを挿入
• 最下位の頂点に既に三つの項目がある場合、分割が必要
• 分割によって、一つ上の層に分岐点の挿入が必要
• 挿入が根まで連鎖する可能性がある
• それを防ぐために、子数が4のノードは予め (下向く探索のとき) 分割
• このような 2-3-4 木をトップダウン 2-3-4 木と呼ぶ

2-3-4 木での削除

• 二分探索木と同様、挿入より複雑
• 削除したい項目を発見 (探索参照)
• 削除したい項目が最下層にない場合、交換できる最下層の項目と交換
• 最下層の項目を削除
• 項目のないノードができたら、連節ノードから項目を移動
• 移動で対応できないとき、合併
• 合併で対応できないなら上位層で対応

2-3-4 木の効率

• 2-3-4 木の高さ h の最大のデータ項目の数: n = 4^h-1
• 2-3-4 木の高さ h の最低のデータ項目の数: n = 2^h-1
• よって、木の高さが O(log n)
• 各操作に必要な時間は木の高さに比例するので O(log n)

2-3-4 木の実装

• Ruby での実装: 8234tree.rb
• 2-3-4 木の実装は一般的に難しいとされている
• そのため、他の平衡木が提案されている

赤黒木

(red-black-tree)

• 2-3-4 木の二分木での実装方法として定義可能
• 元の木の辺は黒
• 3子や4子のノードは複数ノードに分割、その内部の辺は赤
• 二つの赤の辺は連続不可能
• 普遍条件が崩されているとき、「回転」が必要な時がある
• 黒の辺だけを数えると木の高さが一定
• 葉の最大の深さは最小の深さの二倍以内

AVL 木

(AVL-tree)

• Adelson-Velskii と Landis (Адельсон-Вельский と Ландис) が 1962 年に提案
• 最古の平衡木 (二分木)
• 制約 (普遍条件): どの頂点 (ノード) でも、左と右の部分木の高さの差は 1 以下
• 部分木の高さの差を内部説に保持、更新
• 高さが 1.44 log₂ n に限定
• 検索は赤黒木より少し速い
• 挿入・削除は赤黒木より少し遅い

二次記憶装置

(secondary storage)

• 内部メモリは
  • ワード単位でアクセス
    (現在のマシンで 32ビットや64ビットなど)
  • アクセスは非常に速い (ナノ秒単位)
• 二次記憶装置 (ハードディスクなど) は
  • 一気に沢山のデータにアクセス
    (1ページ、512バイト~4096バイトなど)
  • アクセスは非常に遅い (ミリ秒単位)

(テープなどは線形アクセス限定のため論外)

B 木

(B-tree)

• 2-3-4 木の変形と考えられる
• 1ページを1ノードとして使用
• ページごとのキーの容量を最大化
• ページごとの最低のキーの数は容量の半分程度
• B+木ではキー以外のデータを一番下の層だけに配置
• それによって、内部節のキーの数、子供の数を増やし、高さを最低限に抑える

B+木関連の変数の定義

• n: データ項目の総数
• L_p: ページの大きさ
• L_k: キーの大きさ
• L_d: (一項目の) データの大きさ (キーを抜く)
• L_pp: ページ番号 (ポインタ) の大きさ
• α_min: 最低占有率 (普通は 0.5)

B+木: ページごとの項目数

(以下、整数に丸める部分は省略)

• d_max = L_p / (L_k + L_d)
  (葉の最大項目数)
• d_min = d_max α_min
  (葉の最低項目数)
• k_max = L_p / (L_k + L_pp)
  (内部節の最大の子供の数)
• k_min = k_max α_min
  (内部節の最低の子供の数)

B+木のノードの数

• Nd_max = n / d_min
  (葉の最大数)
• Nd_min = n / d_max
  (葉の最低数)
• Nk_max = Nd_max / k_min + Nd_max / k_min²+ ...
  (内部節の最大の数)
• Nk_min = Nd_min / k_max + Nd_min / k_max² + ...
  (内部節の最低の数)

まとめ

• 平衡木によって辞書の基本操作は全て O(log n) で可能
• 二次記憶装置で B 木、B+木はデータベースなどで非常に重要