情報数学 I

第十三回: 証明の方法（2012年1月18日）

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2011/Math1/lecture13.html

© 2006-12 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• これからの予定
• 証明の方法
• 数学的帰納法

これからの予定

• 1月20日 (金): 14回目の授業
• 1月27日(金曜日2限、11:10-12:35): 期末試験

前回からの宿題

九去法の応用例: 次の二つの計算のうち、一つだけ正しいが、どちらでしょうか:
2485938 · 4962483 = 12336425064054
3 · 0 ≡_{(mod 9)} 0 ⇒ 正しい可能性がある (実際に正しい)

2354987 · 2498472 = 5883469079864

2 · 0 ≢_{(mod 9)} 5 ⇒ 正しくない (正解は 5883869079864)

配布テキストについて

• (有名な) 言語理論の教科書から
  言語理論やオートマトン理論についての語句は無視してよい
• 一般的で分かりやすいので配布
• たまに違う「方言」を使用
• 試験の範囲内

証明の大切さ

• 数学の重要な道具
• 情報テクノロジー
  • データ構造の性質の証明
  • アルゴリズムの正しさや性質の証明
  • プログラムの正しさや性質の証明
  • プログラムの変換の正しさの証明

どこまで証明すればよいか

• 直感
• (プログラムの) テスト
• 証明
  • 粗い証明
  • 細かい証明

証明の方法

• 演繹的証明 (deductive proof, proof by deduction)
• 帰納的証明 (inductive proof, proof by induction)
• 背理法 (proof by contradiction)
• 反例による証明 (proof by counterexample)
• 集合についての証明 (proof about sets)
• 列挙による「証明」(proof by enumeration)

証明と記号論理

• 演繹的証明: (H ∧ (H→C)) ⇒ C など
• 帰納的証明: (S(b) ∧ ∀n≥b: S(n)→S(n+1)) ⇒ ∀n≥b: S(n) など
• 背理法: (S→¬S) ⇒ ¬S
• 反例による証明: ∃x: ¬P (x) ⇒ ¬∀x: P(x)
• 列挙による「証明」: 例: 真理表

演繹と帰納

演繹 (deduction): 一般の原理から特定な場合を推論する

帰納 (induction): 少数の事実から一般の原理を推測する

数学的帰納法 (mathematical induction)

目的: ある構造の部分の (殆ど) 全てについて何かを証明する

「ある構造」は自然数が多いが、木などもありうる

数学的帰納法は一般の分類では帰納ではなく演繹である

情報テクノロジーでの数学的帰納法の応用

• アルゴリズムやデータ構造の設計や性質の証明
• プログラムについての証明
  
  • 繰り返し
  • 再帰

数学的帰納法の二つのステップ

1. 基底 (base)
2. 帰納 (induction)

自然数の場合:

1. P(0) が成り立つことを証明する
2. P(k) が成り立てば P(k+1) も成り立つことを証明する

数学的帰納法の種類・変更

• 基底を P(0) ではなくて P(1) や P(2) などにする
• P(n+1) の証明に k≤n の一部又は全てのP(k) を使う
• 一部の自然数に限る (例えば偶数だけ、2ⁿ など)
• 自然数そのものではなく、自然数で整理できるものに応用する
• 枝分かれや他の構造を許す (条件: (半)順序)

演習問題

次の証明のどこがおかしいのかを見つけてください。

• 全てのお互いに平行ではない平面上の直線 n 本は全て一つの点を共有する。

  証明:

  1. 基底: n=2 の場合に明らかである。
  2. 帰納: n+1 本の場合、最初の n 本にも、最後の n 本にも共通点があるので全ての n+1 本に共通点がある。

復習

次回の授業の後半にみなさんの希望に応じて復習を予定している

質問、疑問などなんでも結構