情報数学 I

第十三回: 証明の方法（2013年1月17日）

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2012/Math1/lecture13.html

© 2006-12 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• これからの予定
• 証明の方法
• 数学的帰納法

これからの予定

• 1月18日 (金): 14回目の授業
• 1月25日 (金) 11:10-12:35: 期末試験

前回からの宿題

九去法の応用例: 次の二つの計算のうち、一つだけ正しいが、どちらでしょうか:
2485938 · 4962483 = 12336425064054
3 · 0 ≡_{(mod 9)} 0 ⇒ 正しい可能性がある (実際に正しい)

2354987 · 2498472 = 5883469079864

2 · 0 ≢_{(mod 9)} 5 ⇒ 正しくない (正解は 5883869079864)

配布テキストについて

• (有名な) 言語理論の教科書から
  言語理論やオートマトン理論についての語句は無視してよい
• 一般的で分かりやすいので配布
• たまに違う「方言」を使用
• 試験の範囲内

証明の大切さ

• 数学の重要な道具
• 情報テクノロジー
  • データ構造の性質の証明
  • アルゴリズムの正しさや性質の証明
  • プログラムの正しさや性質の証明
  • プログラムの変換の正しさの証明

どこまで証明すればよいか

• 直感
• (プログラムの) テスト
• 証明
  • 粗い証明
  • 細かい証明

証明の方法

• 演繹的証明 (deductive proof, proof by deduction)
• 帰納的証明 (inductive proof, proof by induction)
• 背理法 (proof by contradiction)
• 反例による証明 (proof by counterexample)
• 集合についての証明 (proof about sets)
• 列挙による「証明」(proof by enumeration)

証明と記号論理

• 演繹的証明: (H ∧ (H→C)) ⇒ C など
• 帰納的証明: (S(b) ∧ ∀k≥b: S(k)→S(k+1)) ⇒ ∀n≥b: S(n) など
• 背理法: (S→¬S) ⇒ ¬S
• 反例による証明: ∃x: ¬P (x) ⇒ ¬∀x: P(x)
• 列挙による「証明」: 例: 真理表

演繹と帰納

演繹 (deduction): 一般の原理から特定な場合を推論

帰納 (induction): 少数の事実から一般の原理を推測

数学的帰納法 (mathematical induction)

目的: ある構造の部分の (殆ど) 全てについて何かを証明

「ある構造」は自然数が多いが、木なども

数学的帰納法は一般の分類では帰納ではなく演繹

情報テクノロジーでの数学的帰納法の応用

• アルゴリズムやデータ構造の設計や性質の証明
• プログラムについての証明
  
  • 繰り返し
  • 再帰

数学的帰納法の二つのステップ

1. 基底 (basis (step))
2. 帰納 (induction, inductive step)

自然数の場合:

1. P(0) が成り立つことを証明する
2. P(k) が成り立てば P(k+1) も成り立つことを証明する

Simple Example of Mathematical Induction

Look at the following equations:

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Express the general rule contained in the above additions as a hypothesis.

Prove the hypothesis using Mathematical induction.

Hypothesis

• The right side of the equations is n²
• The left side is the equations is the sum of n consecutive odd numbers, starting with 1
• Hypothesis: For n>0, ∑ⁿ_i=1 2i-1 = n²

Proof

Basis:

For n = 1, ∑¹_i=1 2i-1 = 1 = 1²

Induction:

Inductive assumption: Assume that the hypothesis is true for some k>0. Show that it follows that the hypothesis is true for k+1:
This means we have to prove ∑^(k+1)_i=1 2i-1 = (k+1)² using ∑^k_i=1 2i-1 = k².

(k+1)² = k² + 2k + 1 =∑^k_i=1 (2i-1) + 2k + 1 = ∑^k_i=1 (2i-1) + 2(k+1) - 1 = ∑^(k+1)_i=1 2i-1 Q.E.D.

数学的帰納法の種類・変更

• 基底を P(0) ではなくて P(1) や P(2) などにする
• P(n+1) の証明に k≤n の一部又は全てのP(k) を使う
• 一部の自然数に限る (例えば偶数だけ、2ⁿ など)
• 自然数そのものではなく、自然数で整理できるものに応用する
• 枝分かれや他の構造を許す (条件: (半)順序)

演習問題

1. 次の証明のどこがおかしいのかを見つけてください。

• 全てのお互いに平行ではない平面上の直線 n 本は全て一つの点を共有する。

  証明:

  1. 基底: n=2 の場合に明らかである。
  2. 帰納: n+1 本の場合、最初の n 本にも、最後の n 本にも共通点があるので全ての n+1 本に共通点がある。

2. ペアノの公理による足算の結合律を証明しなさい。

復習

次回の授業の後半にみなさんの希望に応じて復習を予定している

質問、疑問などなんでも結構

Glossary

hypothesis

仮説

equation

演算子方程式

consecutive

連続的な

odd (number)

奇数

inductive assumption

(帰納の) 仮定