情報数学 I

第九回 (2012年12月 7日)

半順序から群へ

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2012/Math1/lecture9.html

AGU

© 2005-12 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

前回の復習

A の中の関係 R に対して次の性質がありうる:

  1. 反射的 (reflexive): xRx; xA ⇒ (x, x) ∈ R
  2. 対称的 (symmetric): xRyyRx ; (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
  3. 反対称的 (antisymmetric): xRyyRxx=y
  4. 推移的 (transitive): xRyyRzxRz

前回の宿題: 関係の性質の組み合わせ

関係の性質 (反射的、対称的、推移的、反対称的) の有無の組合せを一つ一つ調べ、できるだけ小さい具体例 (例えば {a, b, c} の中の関係とか {a, b, c, d} の中の関係として) を作りなさい。

反射的 対称的 推移的 反対称的 可能性・例など
T T T T {(a,a), (b,b), (c,c)} (半順序関係かつ同値関係)
T T T F 直積集合など; 同値関係; {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)}
T T F T 不可能
T T F F {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
T F T T 半順序関係; {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}
T F T F {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d), (d,d)}*
T F F T {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c)}
T F F F {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a)}
F T T T {(a,a), (c,c)}
F T T F {(a,a), (a,c), (c,a), (c,c)}
F T F T 不可能
F T F F {(a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
F F T T {(a,a), (a,c)}
F F T F {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d)}*
F F F T {(a,b), (b,c)}
F F F F {(a,b), (b,c), (b,a)}

例は * の場合 {a, b, c, d} の中の関係、それ以外は {a, b, c} の中の関係

Partial Order

 

Examples of Order Relations

Some examples need a careful definition:

 

Hasse Diagram

An order relation can be represented by a Hasse diagram.

How to convert a directed graph of an order relation to a Hasse diagram:

  1. Remove arrows that indicated reflexivity
  2. Rearange the vertices of the graph so that all arrows point upwards (or updownwards)
  3. Remove the arrows that can be reconstructed using transitive closure
  4. Remove the arrowheads

Example 1: The relation "needs to be done after (or at the same time as)" for the above tasks 1. to 4.

Example 2: The relation "divisible by" on the set {10, 5, 3, 2, 1}

 

Equivalence Relations and Order Relations in Matrix Representation

 

全順序

ある集合 A の全ての元 ab に対して

ab 又はba が成り立つ場合、

≥ を全順序関係 (total order relation)

(あるいは線形順序関係 (linear order relation) という

例: 整数、実数など; 日付や時間; 辞書での単語の順番

代数系

(algebraic system)

代数系の例: 群

(group)

演算は二項演算「∘」一つ。公理:

例: (Z; +), (R-{0}; ×), 対称群 (symmetric group)

対称群

 

代数系の例

Glossary

partial order
半順序
partial order relation
半順序関係
order relation
順序関係
partially ordered set
半順序集合
ordered set
順序集合
mutually exclusive
相互排他的な
Hasse diagram
ハッセ図
vertex (plural vertices)
(グラフの) 節、頂点
reconstruct
復元する
square
正方形
overlap
重なる、重複する