情報数学 I

第十一回 (2013年 12月20日)

合同算術
Modular Arithmetic

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2013/Math1/lecture11.html

今日の予定

これからの予定
前回の残りと復習
合同算術
モジュロ演算
数字和と数字根

これからの予定

1月10日 (金): 12回目の授業
1月14日 (火曜日2限、補講): 13回目の授業
1月17日 (金): 14回目の授業
1月24日 (金): 15回目の授業
1月28日~2月3日: 期末試験

期末試験

試験範囲:: 授業・プリントの全ての内容
問題の種類:: ミニテストと同様やそれに似た形式
年度ごとの過去の試験の例: 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012: 一部のブラウザ (IE7以前) は非推奨
印刷には最新の Opera ブラウザが最適
図と解答例の一部は欠落
解答例は「表示」→「スタイル」→「solutions」で表示可能
注意点:: 問題をよく読む (計算、証明、説明などの区別); 概念の定義を自分の言葉でおさえる; 計算のところ (n 進法、真理表など) をスピードを意識して練習; 各回を超えた横断的な関係を把握; 綺麗な字で書く

合同算術

(modular arithmetic)

1801 年にガウス (Gauss) によって発表
全集合は ℤ (整数)
合同式 (congruence (equation)):
a ≡_{(mod n)} b ⇔ a - b = qn ⇔ a = q₁n + r ∧ b = q₂n + r ∧ 0 ≦ r < n
n は法 (modulus)と呼ぶ (n≠0)
r は剰余 (residue)
a ≡_{(mod n)} b は a ≡ b (mod n) 又は a ≡ b (modulo n) 又は a ≡_n b とも書く

合同関係

各法 n は ℤ において合同関係を作る
合同関係 (congruence relation) は同値関係
同値類は合同類 (congruence class) 又は剰余類 (residue class) と呼ぶ
一般に合同類の代表 k は 0 ≦ k < n のようにとる
代表は剰余演算の結果 (注: 負の数の場合に、定義による)

合同式の性質

a ≡ b ∧ c ≡ d ⇒ a + c ≡ b + d (mod n)
a ≡ b ∧ c ≡ d ⇒ a - c ≡ b - d (mod n)
a ≡ b ∧ c ≡ d ⇒ ac ≡ bd (mod n)
a ≡ b ⇒ a^m ≡ b^m (mod n)
a ≡ b ∧ c ≡ d ⇏ a / c ≡ b / d (mod n)

Modulo Operation

Operator: % (C, Ruby and many other programming languages)、mod (Mathematics)

Definitions for negative numbers:

operands		always non-negative		same sign as divisor		same sign as dividend
		remainder for negative operands
`a`	`n`	`q`	`r`	`q`	`r`	`q`	`r`
11	7	1	4	1	4	1	4
-11	7	-2	3	-2	3	1	-4
11	-7	-1	4	-2	-3	-1	4
-11	-7	2	3	1	-4	-1	-4
Programming languages,...		Pascal, this lecture		Ruby, Python, MS Excel		C (ISO 1999), Java, JavaScript, Perl, PHP

In some programming languages (e.g. C before ISO 1999), the result is implementation-defined
Some programming languages offer more than one function
Always: qn+r=a ∧ |r|<|n|
a ≡_n b ⇔ a mod n = b mod n only true for "always non-negative"

See English Wikipedia article on Modulo Operation

An Example of Using the Modulo Operation

Output some data items, three items on a line.

A simple way:

int items = 0;
for (i=0; i<length; i++) {
    /* print out */
    items++;
    if (items==3) {
        printf("\n");
        items = 0;
    }
}

Using the modulo operation:

for (i=0; i<length; i++) {
    /* print out */
    if (i%3 == 2)  printf("\n");
}

Properties of the Modulo Operation

(a + c) mod n = (a mod n + c mod n) mod n
(a - c) mod n = (a mod n - c mod n) mod n
(a · c) mod n = (a mod n · c mod n) mod n

Reason: a ≡_{(mod n)} a mod n, and so on

Application of Congruence: Simple Calculation of Remainder

Example: 2¹⁶ mod 29 = ?

2¹⁶ = 2⁵ · 2⁵ · 2⁵ · 2

2¹⁶ = 2⁵ · 2⁵ · 2⁵ · 2 = 32 · 32 · 32 · 2 ≡_{(mod 29)} 3 · 3 · 3 · 2 = 54 ≡_(mod
29) 25

合同算術での割算

有理数などの割算: a/b = c ⇔a b^-1 = c; b b^-1 = 1 (逆数、inverse)

モジュラ逆数 (modular multiplicative inverse): bb^-1 ≡ 1

`n`	0	1	2	3	4	5	6	7
2	-	1
3	-	1	2
4	-	1	-	3
5	-	1	3	2	4
6	-	1	-	-	-	5
7	-	1	4	5	2	3	6
8	-	1	-	3	-	5	-	7

n と b がお互いに素 (coprime、最大公約数が 1) の場合のみ定義

計算には色々方法が存在

a/b (mod n) は a b^-1 (mod n) として定義

具体例: 3/4 (mod 7) = 3 · 4^-1 (mod 7) = 3 · 2 (mod 7) = 6
(確認: 6 · 4 (mod 7) = 24 (mod 7) = 3)

数字和と数字根

数字和 (digit sum): それぞれのけたの数字の合計

数字根 (digit root): 数字和を一桁になるまでに繰り返す

十進法での応用例: 1839275 の数字和は 1+8+3+9+2+7+5 = 35; 35 の数字和は 3+5 = 8; 1839275 の数字根は 8

十六進法の例: A8FB の数字和は A+8+F+B (10+8+15+11) = (44) 2C; 2C の数字和は 2+C (2+12) = (14) E; A3FB の数字根は E

合同式の応用: 九去法

(casting out nines)

n 進法の数字根は n-1 で割ったときの剰余と同じ
元の演算が合ったら、数字根での演算は当然合う
数字根での演算では演算の間違えの一部が確認可能 (演算の正確さの確認は不可能)
応用例: 次の二つの計算のうち、一つだけ正しいが、どちらでしょうか:
2485938 · 4962483 = 12336425064054
2354987 · 2498472 = 5883469079864

宿題

前スライドの問題
復習
期末執権への準備

Glossary

modulo operation: 剰余演算
operator: 演算子
dividend: 被除数
divisor: 除数
implementation: 実装