情報数学 I

第十四回 (2014年1月17日)

証明の方法
Proof Methods

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2013/Math1/lecture14.html

AGU

© 2006-14 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

これからの予定

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配布テキストについて

証明の大切さ

どこまで証明すればよいか

 

証明の方法

証明と記号論理

(S は証明する命題や述語)

演繹と帰納

演繹 (deduction): 一般の原理から特定な場合を推論

帰納 (induction): 少数の事実から一般の原理を推測

数学的帰納法 (mathematical induction)

目的: ある構造の部分の (殆ど) 全てについての証明

「ある構造」は自然数が多いが、木なども

数学的帰納法は一般の分類では帰納ではなく演繹

数学的帰納法の応用

情報テクノロジーでの数学的帰納法の応用:

数学的帰納法の二つのステップ

S(0) ∧ (∀k∈ℕ: S(k) → S(k+1)) ⇒ (∀n∈ℕ: S(n))

  1. 基底 (basis (step), base case; S(0) の証明)
  2. 帰納 (induction, inductive step/case, (∀k∈ℕ: S(k) → S(k+1)) の証明)

Simple Example of Mathematical Induction

Look at the following equations:

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Express the general rule contained in the above additions as a hypothesis.

Prove the hypothesis using Mathematical induction.

 

Hypothesis

Proof

Basis:

Prove the property for n = 0: ∑0i=0 2i+1 = 1 = 12

Induction:

Inductive assumption: Assume that the hypothesis is true for some k≥0: ∑ki=0 2i+1 = (k+1)2.

Show that the property is true for k + 1: ∑(k+1)i=0 2i+1 = (k+2)2:

(k+2)2 [start with right side]
= k2 + 4k + 4 [expansion]
= k2 +2k +1 +2k + 3 [arithmetic]
= (k+1)2 + 2(k+1) + 1 [arithmetic]
= ∑ki=0 (2i+1) + 2k + 3 [use hypothesis]
= ∑ki=0 (2i+1) + 2(k+1)+1 [property of ∑]
= ∑(k+1)i=0 2i+1 Q.E.D.

 

数学的帰納法の種類・変更

 

演習問題

1. 次の証明のどこがおかしいのかを見つけて下さい。

2. 来週質問したいことを考えて下さい。

復習

次回の授業の後半にみなさんの希望に応じて復習を予定

質問、疑問などなんでも結構

授業改善のための学生アンケート

お願い: 自由記述をできるだけ使って、具体的に書いてください

(例: 「英語をやめてほしい」のではなく、「日本語の部分で出てくる用語も Glossary に含めてほしい」など)

Glossary

hypothesis
仮説
equation
方程式
consecutive
連続的な
odd (number)
奇数
inductive assumption
(帰納の) 仮定