言語理論とコンパイラ

第三回 (2014 年 4 月 25 日)

有限オートマトンと線形文法

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2014/Compiler/lecture3.html

Martin J. Dürst

今日の予定

前回の残り (文法の種類) と宿題
有限オートマトン
線形文法
それらの間の変換

前回の宿題 1

問題: L = { a, cb, ac } の場合、L^* の一番短い語 10個を列挙しなさい。

解答:[都合により削除]

発展問題 (解答自由): L^* の長さ4の語を全て列挙しなさい。

解答:[都合により削除]

前回の宿題 2

問題:「導出の例」で使われた文法を使って、4つの (例の S ⇒ aabbaaとお互いと) 異なる語の導出を書きなさい。この文法はどの様な言語を定義しているかを推測して、説明しなさい。

解答例:[都合により削除]

前回の宿題 2 (発展問題)

発展問題 (解答自由): 自分の推測を証明してみなさい。

解答例:[都合により削除]

Cygwin のダウンロード、インストール

(提出なしだが、出来なかった人はノートパソコン持参)
自分のノートパソコンに cygwin をインストール (画像つき詳細)する。インストールの手順で必ず gcc, flex, bisonと make を選ぶ。

`flex`、`bison`、`gcc` の動作確認

Cygwin Bash Shell (または putty, mintty, Cygwin Terminal) を起動
flex -V で flex のバージョン確認 (V は大文字)
bison -V で bison のバージョン確認 (V は大文字)
gcc -v で gcc のバージョン確認 (v は小文字)
make -v で make のバージョン確認 (v は小文字)

前回のまとめ

文法	Type	言語	オートマトン
句構造文法	0	句構造言語	チューリング機械
文脈依存文法	1	文脈依存言語	線形拘束オートマトン
文脈自由文法	2	文脈自由言語	プッシュダウンオートマトン
正規文法	3	正規言語	有限オートマトン

正規言語は字句解析に使用

今回の展望

有限オートマトン (finite state automaton, FSA)
- 決定性有限オートマトン (deterministic finite automaton, DFA)
- 非決定性有限オートマトン (non-deterministic finite automaton, NFA)
正規文法 (regular grammar)
- 左線形文法 (left linear grammar)
- 右線形文法 (right linear grammar)
[正規表現 (regular expression)]

これらは全て同じ力を持って、正規言語を定義・受理する

有限オートマトン

(automaton (αὐτόματον) はギリシア語で、複数は automata)

有限オートマトンの状態遷移図

状態遷移図 (state transition diagram)

外からの矢印: 初期状態、丸: 状態、二重丸: 受理状態、ラベル付き矢印: 遷移

有限オートマトンの動作

初期状態から開始
入力の語から繰り返し一記号を読んで、対応のラベルの矢印に沿って状態を遷移
語を読み終わった時点で受理状態にいるとこの語が受理
語を読み終わった時点で受理状態にいない、又は途中で動作不可の場合に語が非受理
状態の数が有限 (すなわち、メモリに制限)

有限オートマトンの状態遷移表

(state transition table)

	a	b
→A	B	A
B	C	A
*C	C	A

最左欄: 状態、最上行: 入力記号、→: 初期状態 (ない場合、最初の状態)、表の内部: 遷移後の状態、星: 受理状態

有限オートマトンの例

ある一個の語だけ受理できる
ある記号の数が奇数、偶数、3 で割れば余りが 2、等
語の先頭に決まった記号列がある
語の終わりに決まった記号列がある
語の真ん中に・どこかに決まった記号列がある
二つ以上の条件を同時に、または連続に、またはそのどちらかを満たすもの

有限オートマトンの定義

状態の有限集合 (Q、図の円、表の最左欄、set of states)
入力記号の有限集合 (Σ、図の矢印のラベル、表の最上行、set of input symbols)
動作関数 (δ、図のラベル付き矢印、表の内部 (状態遷移関数、state transition function))
初期状態 (q₀ ∈ Q、図の外からの矢印のある円、表の矢印つき状態、start state)
受理状態の有限集合 (F ⊆ Q、図の二重円、表の星つき状態、accepting state/final state)

有限オートマトンは (Q, Σ, δ, q₀, F) の五字組で定義

非決定性有限オートマトン

遷移がどの場合でも必ず一定に決まる有限オートマトンは「決定性有限オートマトン」(deterministic finite automaton, DFA)
そうでない有限オートマトンは「非決定性有限オートマトン」(nondeterministic finite automaton, NFA)
複数の遷移が可能な (同じ状態から同じ入力記号で複数の状態への遷移がある) 場合には
- 可能な遷移をすべて同時に実行 (「分身」ができる)
- その後の入力記号も同様に (さらに「分身」が増える可能性)
- 遷移がない「分身」は「消滅」
- 入力の終了時点で「分身」の一つ以上が受理状態にいれば受理、それ以外非受理

ε 遷移

ε 遷移は「ただで行ける」、すなわち入力なしで遷移可能なもの
「普通」の遷移を行った後 (最初に初期状態についた時を含む) に、ε 遷移を実行
ε 遷移は複数 (並行、立て続け) 実行可能
ε 遷移は状態の移動ではなく、増加 (「分身」増加)
これを ε 閉包という (ε closure)

DFA と NFA の比較表

	決定性 (DFA)	非決定性 (NFA)
同時に	一つの状態	複数の状態 (状態の集合)
受理条件	現在の状態が受理状態	現在の状態の一つ以上が受理状態
ε 遷移	なし	あり
動作関数の型	`δ`: `Q` × `Σ` → `Q`	`δ`: `Q` × (`Σ` ∪ {`ε`}) → `P`(`Q`)

(ε 遷移不可の非決定性有限オートマトンも存在)

DFA と NFA の同等性

NFA は DFA より複雑で、強力に見える
DFA は NFA よりも簡単で実装しやすいように見える
NFA で表現可能が、DFA で表現不可能な言語は存在するか
NFA から DFA への返還は可能でしょうか

NFA から同等の DFA への変換

アルゴリズムの原理:
- NFA の状態の集合が DFA の状態
- NFA の初期状態の ε 閉包の集合が DFA の初期状態
- NFA の受理状態を一つ以上含まれる DFA の状態が受理状態
全ての NFA は同等の DFA に変換可能
全ての DFA は (単純な) NFA
よって、DFA と NFA の受理能力が同等
実装は DFA の方が簡単が、テーブルの大きさが増加

NFA から同等の DFA への変換の一例

状態遷移表
	`ε`	0	1
`→S`	{`A`}	{}	{}
`A`	{}	{`A`,`C`}	{`B`}
`B`	{}	{}	{`A`}
`*C`	{}	{}	{}

線形文法

(linear grammar)

文法の簡単な書換規則
規則の形	名称
`A` → `aB`	右線形規則 (非終端記号が右)
`A` → `Ba`	左線形規則 (非終端記号が左)
`A` → `a`	定数規則

左線形文法 (left linear grammar): 左線形規則と定数規則しか含まない文法

右線形文法 (right linear grammar): 右線形規則と定数規則しか含まない文法

(両方で S → ε も特別に可)

左線形文法と右線形文法はともに正規文法と言う

(左線形規則も右線形規則も含む一般の線形文法は文脈自由文法の一種)

(右) 線形文法と有限オートマトン

右線形文法と NFA の対応 (ε が考慮外):

状態は非終端記号と対応
初期状態は初期記号と対応
受理状態に遷移する動作は定数規則と対応
全ての動作は右線形規則と対応

左線形文法も同様 (語を右から読み込むと考えられる)

右線形文法と有限オートマトンの一例