情報数学 I

第五回: 集合

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

テュールスト マーティン ヤコブ

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2005/Math%20I/lecture5.html

© 2005 Martin J. Dürst 青山学院大学

先々週の宿題

提出: 再来週の金曜日 (11月 4日)、授業のはじめに。形式は A4 一枚。

第一問:

半加算器を NAND だけ (もしくは NOR だけ) で作って書いて下さい。

第二問:

三つの真理値 (真: T、偽: F、未定 (分からない): ?) を使う多値論理の基本的な真理表 (かつ、又は、ではない) を作って下さい。

解答:

別紙参照

記号論理

(symbolic logic)

• 論理のモデルを作って、記号演算だけで論理ができるようにする。
• 論理にはいくつかの種類がある。例えば:
  • 二値論理 (真と偽だけ)
  • 多値論理 (真と偽以外の値がある)
  • ファジィ論理 (曖昧さの計算を含む)
  • 命題論理 (propositional logic, 命題だけを使う)
  • 述語論理 (predicate logic, 一階 (first order) 等)
  • 時間など他の要素を取り入れた論理

論理に大切な演算子

• 「同値である」: equiv, A ↔ B (同値、equivalence)
  A と B が同じ値の場合だけ T
• 「ならば」: imp, A → B (含意、implication)
  A が T で B が F の場合だけ F

  例: 情報数学 I に合格するならば三月に沖縄に旅行に行く。

「同値である」と「ならば」の性質

1. 含意の除去: A→B = ¬A∨B = ¬(A∧¬B)
2. 同値の除去: A↔B = (A→B)∧(B→A) = (A∧B)∨(¬A∧¬B)
3. 推移律: ((A→B) ∧ (B→C)) → (A→C),
   ((A↔B) ∧ (B↔C)) → (A↔C)
4. 背理法: A→¬A = ¬A
5. 対偶: A→B = ¬B→¬A
6. 同値の性質: A↔B = ¬A↔¬B, ¬(A↔B) = (A↔¬B)
7. 含意の性質: T→A = A, F→A = T, A→T = T, A→F = ¬A

恒真と恒偽

• 常に真の式を「恒真式」と呼ぶ。トートロジー (tautology) ともいう。
• 常に偽の式を「恒偽式」と呼ぶ。

集合の概念

• 関心・対象にしたい物事の集まり
• 条件:
  • 集合に属するかどうか明確な判断が可能
  • 集合に属する 2つのものが同一かどうかの判断が可能
    (同一の場合に一回しか集合に属さない)
• 集合に属するのは「元」もしくは「要素」という
• ある元 a がある集合 A に属する (含まれる) ことを a ∈ A や A ∋ aと書く
  (a is an element of set A)
• 含まない場合には a ∉ A や A ∌ aと書く

集合の表現

• 外延的記法 (denotation): 元を波括弧 ({}) 内に列挙する
  例: {T, F}, {T, ?, F}, {1, 2, 3, 4}
• 内包的記法 (connotation): 元になる条件を定義する
  例: {n|n は整数で n>0 ∧ n<5}

部分集合とベキ集合

• 部分集合 (subset): ある集合の元の一部を含まれる集合
  A ⊂ B (A は B の部分集合)
• 空集合 (empty set): 一つも元を含まない集合: {} 又は ∅
• ベキ集合 (power set): ある集合の全ての部分集合の集合: P(A)

集合の演算 (その一)

• 和集合 (sum, union): A ∪ B
• 積集合 (product, intersection): A ∩ B
• 差集合 (difference set): A - B

集合演算 (その二)

• 普遍集合 (全体集合、universal set): 議論の対象にされている全体の要素の集合
  例: 整数、正数、など
• 補集合 (complement, complementary set): A^c