情報数学 I

第十回: ブール代数と 2進数とビット毎演算

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2006/Math1/lecture10.html

今週の予定

先週のまとめ
群と置換群、他の代数係
ブール代数
ビット毎演算
二進数、16進数

先週のまとめ

関係の性質の組み合わせ
反対称的関係、非対称的関係
同値関係と同値類
推移的閉包
半順序と全順序、ハッセ図

代数係の例: 群

(group)

演算は二項演算「∘」一つ。公理:

結合律
単位元の存在
逆元 (inverse element) の存在

例: (Z; +), (R-{0}; ×), 置換群 (permutation group)

置換群

n 次置換群は n 個の要素の置き換えすべてを含まれる
置換群の要素は 1..n の順列で表す
例: (2, 4, 1, 3) は (猫、犬、馬、牛) を (犬、牛、猫、馬) に置き換える
置換群の二次演算は置き換えの連結
例: (2, 4, 1, 3) ∘ (1, 4, 2, 3) = (2, 3, 4, 1)
単位元は「何もしない」置き換え
例: (1, 2, 3, 4)
結合律は成立するが、交換律は成り立たない:
例: (2, 4, 1, 3) ∘ (1, 4, 2, 3) ≠ (1, 4, 2, 3) ∘ (2, 4, 1, 3)

代数の例

可換群 (アベル群、Abelian group): 群に交換律を追加
例: (Z; +), (R-{0}; ×)
半群 (semigroup): 交換律だけ、単位元と逆元が無い
環 (ring): 加法と乗法という二つの演算があり、加法に対して可換群、乗法に対して半群、乗法は加法に対して分配可能 (例: 多項式環)
体 (field)
束 (lattice): 二つの演算に対して結合律と交換律、そしてお互いに吸収律が成り立つ

ブール代数

(boolean algebra)

論理演算、集合演算、半順序の「交差点」
論理演算、集合演算、一部の半順序の上位概念
B = (B, 0, 1, ¬, ∧, ∨) は次の条件でブール代数となる:
- 0 ∈ B, 1 ∈ B (1 は単位元、0 は零元と言う)
- ¬ はB上の単項演算、∧ と∨は二項演算
- ∧と∨について交換律、結合律と分配率が成り立つ
- a ∈ B の場合に a ∨ 0 = a, a ∧1=a が成り立つ
- a ∈ B の場合に a ∨¬a = 1, a ∧¬a = 0 が成り立つ
- 公理はもっと少なめでよいが、複数のやり方が存在
注意: 0、1、∧ など太字のものは代表で、具体的の意味ではない

ブール代数の例 (1): 集合演算

B は (有限) 集合 U のベキ集合
0 は空集合
1 は U (全集合)
¬ は補集合演算
∧ は積集合演算
∨ は和集合演算

ブール代数の例 (2): ビット毎演算

B は
0 は
1 は
¬ は
∧ は
∨ は

ブール代数の例 (3)

B は
0 は
1 は
¬ は
∧ は
∨ は

有限ブール代数の構造

有限ブール代数は全て |B| = 2ⁿ である
有限ブール代数は全て同じ構造である (n 次元の立方体の辺)
n のブール代数は全て同型 (isomorphic) である
ブール代数は全て同じ性質が成り立つ (公理から証明可能)

ブール代数の同型

部分集合はビット列で表せる
集合の演算は論理演算で表せる
例: A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

2 進数と 16 進数の対応

10	2	8	16
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

数の表現: 10進法

205 = 2×10² + 0×10¹ + 5×10⁰

34.56 = 3×10¹ + 4×10⁰ + 5×10^-1 + 6×10^-2

数の表現: 2進法

1010011 = 1×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ =

数の表現: 16進法

1AF = 1×16² +A×16¹ +F×16⁰ =

16進数の桁の値
桁 (大文字)	桁 (小文字)	値 (10進数で)
A	a	10
B	b	11
C	c	12
D	d	13
E	e	14
F	f	15

2 の何乗

`n`	2ⁿ	16 進数
0	1	1
1	2	2
2	4	4
3	8	8
4	16	10
5	32	20
6	64	40
7	128	80
8	256	100
9	512	200
10	1024 ≈10³ (kilo)	400
11	2048	800
12	4096	1000
16	65536	10000
20	1048576 ≈ 10⁶ (mega)	100000
30	1073741824 ≈ 10⁹ (giga)	40000000
40	1099511627776 ≈ 10¹² (tera)	10000000000

基数変換

n 進数から 10 進数: それぞれの桁の値と桁の重みの積の和

10 進数から n 進数:

23 = 11×2¹ + 1×2⁰ = 5×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 2×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 10111

基	商	余り	結果の回の桁
23	11	1	1
11	5	1	11
5	2	1	111
2	1	0	0111
1	0	1	10111

変換したい数を最初の商にして、繰り返し商を n で割って、余りを最下位の桁にする

n 進数から m 進数:

10 進数経由で変換
n が m の何乗 (もしくは逆) の場合、桁を組み合わせて、組み毎に変換

情報テクノロジーでよく使う基数

基数	英語と略 (形容詞)	用途、使用理由
2	binary, bin	論理と回路の基本
8	octal, oct	2 進数の短縮、最近使用が少ない
10	decimal, dec	人間用
16	hexadecimal, hex	2 進数の短縮、1 バイト (8 ビット) を2 桁で表現可能

冗談の宿題

Q: Why do computer scientist always think Christmas and Halloween are the same ?

質問: なぜで情報テクノロジーの専門家はクリスマスとハロウィーンをいつも誤解するか。

もう一つの冗談

質問: 情報テクノロジーで還暦は何歳か。

よく使われるビット毎演算

データ型によって 8 ビット (1 バイト)、16 ビット、32 ビット、64 ビット

かつ、ビット AND 演算: 多くのプログラム言語で & と書く
又は、ビット OR 演算: 多くのプログラム言語で | と書く
排他的論理和、ビット XOR 演算: 多くのプログラム言語で ^ と書く

ビット毎演算の用途:

集合の表現と演算
性質の記述とチェック
データの細かい操作 (例えばデータ変換やデータ圧縮など)

他のビット演算

左シフト:
- 多くのプログラム言語で << と書く。
- b << n では b のビットをそれぞれ n 個左にずらし、右から 0 で埋める。左から n 個のビットは消える。
- オーバフローがない場合 b << n は b ×2ⁿ と同じ。
右シフト:
- 多くのプログラム言語で >> と書く。
- b >> n では b のビットをそれぞれ n 個右にずらす。左から0で埋めるか最上位のビットを複写するのかはプログラム言語・データ型・実装による。右から n 個のビットは消える。
- 左から 0 で埋める場合 b >> n は b / 2ⁿ と同じ。

ビット演算で足し算

一桁の足し算
	0	1
0	0	1
1	1	¹0