情報数学 I

第十一回: ビット毎演算、述語論理

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2006/Math1/lecture11.html

今日の予定

宿題と期末試験について
二進数とビット毎演算 (続き)
記号論理
述語論理

宿題について

四回目の宿題以外の採点は終了
四回目の宿題の採点はまだ少し時間がかかる
一部の点数がシステム上の都合で変更された
ミニテストは年明けに返す予定
一部コピーの疑いが強いところがあって、0点になった

期末試験について

日程が決定:
2007年 1月26日 (金) 11:10-12:35
内容:
授業・プリントの全ての内容
質問の種類・スタイル:
大体ミニテストと類似

基数変換

n 進数から 10 進数: それぞれの桁の値と桁の重みの積の和

10 進数から n 進数:

変換したい数を最初の商にして、繰り返し商を n で割って、余りを最下位の桁にする

23 = 11×2¹ + 1×2⁰ = 5×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 2×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 10111

基	商	余り	結果の回の桁
23	11	1	1
11	5	1	11
5	2	1	111
2	1	0	0111
1	0	1	10111

n 進数から m 進数:

10 進数経由で変換
n が m の何乗 (もしくは逆) の場合、桁を組み合わせて、組み毎に変換

情報テクノロジーでよく使う基数

基数	英語と略 (形容詞)	用途、使用理由
2	binary, bin	論理と回路の基本
8	octal, oct	2 進数の短縮、最近使用が少ない
10	decimal, dec	人間用
16	hexadecimal, hex	2 進数の短縮、1 バイト (8 ビット) を2 桁で表現可能

冗談の宿題

Q: Why do computer scientist always think Christmas and Halloween are the same ?

質問: なぜで情報テクノロジーの専門家はクリスマスとハロウィーンをいつも誤解するか。

もう一つの冗談

質問: 情報テクノロジーで還暦は何歳か。

よく使われるビット毎演算

データ型によって 8 ビット (1 バイト)、16 ビット、32 ビット、64 ビット

かつ、ビット毎 AND 演算: C を始め多くのプログラム言語で & と書く
又は、ビット毎 OR 演算: 多くのプログラム言語で | と書く
排他的論理和、ビット毎 XOR 演算: 多くのプログラム言語で ^ と書く

ビット毎演算の用途:

集合の表現と演算
性質の記述とチェック
データの細かい操作 (例えばデータ変換やデータ圧縮など)

他のビット演算

左シフト:
- 多くのプログラム言語で << と書く。
- b << n では b のビットをそれぞれ n 個左にずらし、右から 0 で埋める。左から n 個のビットは消える。
- オーバフローがない場合 b << n は b ×2ⁿ と同じ。
右シフト:
- 多くのプログラム言語で >> と書く。
- b >> n では b のビットをそれぞれ n 個右にずらす。左から0で埋めるか最上位のビットを複写するのかはプログラム言語・データ型・実装による。右から n 個のビットは消える。
- 左から 0 で埋める場合 b >> n は b / 2ⁿ と同じ。

ビット演算で足し算

一桁の足し算
	0	1
0	0	1
1	1	¹0

記号論理

(symbolic logic)

論理のモデルを作って、記号演算だけで論理ができるようにする。
論理にはいくつかの種類がある。例えば:
- 二値論理 (真と偽だけ)
- 多値論理 (真と偽以外の値がある)
- ファジィ論理 (曖昧さの計算を含む)
- 命題論理 (propositional logic, 命題だけを使う)
- 述語論理 (predicate logic, 一階 (first order) 等)
- 時間など他の要素を取り入れた論理

命題の制限と述語

各々の事実は別物として表わされてる

例: 今日は晴れ、明日は晴れ、明後日は晴れ、2 が偶数、5 が偶数

「今日は晴なら明日も晴れ」とか「2が偶数なら3が偶数ではない」のは書けますが、「ある日が晴なら次の日も晴れ」とか「x が偶数なら x+2 も偶数」のは書けません。

述語の例

晴 (今日)、晴 (明日) 、偶数 (2)、偶数 (5) 等

述語によって以前書けなかったものが書けるようになる:

晴 (x) → 晴 (x の次の日)

偶数 (x) → 偶数 (x+2)

述語は性質とか関係を表す

述語は命題と同じように真か偽であることもあるが、命題と違って未定であることもありうる。

一個の述語が未定であってもそれを含む論理式は未定ではないこともある。

述語と関数・関数

関数の例: father (x) = y

述語の例: Father (y, x)

関係と述語は非常に近い概念で、内容より分野の違いが強い

全称限量子

(全称記号、universal quantifier)

ある論理式がある変数の対称とする全ての値 (固体) に対して記述したいときに使う。

記号の由来: "for All" の A を逆さまにした

例: ∀x: P (x)

存在限量子

(存在記号、existential quantifier)

ある論理式がある変数の少なくとも一つの値 (固体) について記述したいときに使う。

記号の由来: "there Exists" の E を逆さまにした

例: ∃y: P (y)

量記号の組み合わせ

素数の数が無限である:

∀x: ∃y: (y > x ∧ 素数 (y))