情報数学 I

第十三回: 証明の方法

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2006/Math1/lecture13.html

今日の予定

期末試験について
量記号の復習
証明の方法
数学的帰納法

期末試験

日付:: 2007年 1月26日 (金曜日7
時間:: 11:10-12:35 (85分間)
試験範囲:: 授業全体。授業で習っていないことは含まない。
問題の種類:: ミニテストと同様やそれに似た形式
注意点:: 問題をよく読む (計算、証明、説明などの区別); 概念の定義を自分の言葉でおさえる; 計算のところ (n進法、真理表など) をスピードを意識して練習; 綺麗な字で書く

量記号の復習

量記号の場合の注意点:

全集合の把握
書き方 (コロン、括弧など)
使用する述語の定義
自由変数の存在

証明の大切さ

数学の中心的道具
情報テクノロジー
- データ構造の性質の証明
- アルゴリズムの正しさや性質の証明
- プログラムの正しさや性質の証明
- プログラムの変換の正しさの証明

配布テキストについて

(有名な) 言語理論の教科書から
言語理論やオートマトン理論についての語句は無視してよい
一般的で分かりやすいので配布
たまに違う「方言」を使用
試験の範囲に含む

どこまで証明すればよいか

直感
テスト
証明
- 粗い証明
- 細かい証明

証明の方法

演繹的証明 (deductive proof, proof by deduction)
帰納的証明 (inductive proof, proof by induction)
背理法 (proof by contradiction)
反例による証明 (proof by counterexample)
集合についての証明 (proof about sets)
列挙による「証明」(proof by enumeration)

証明と記号論理

演繹的証明: (H ∧ (H→C)) → C など
帰納的証明: (S(b) ∧ ∀n≥b: S(n)→S(n+1)) → ∀n≥b: S(n)
背理法: ~~(¬S→S) → ¬S~~ (S→¬S) → ¬S
反例による証明: ∃x: ¬P (x) → ¬∀x: P(x)
列挙による「証明」: 例: 真理表

演繹と帰納

演繹 (deduction): 一般の原理から特定な場合を推論する

帰納 (induction): 少数の事実から一般の原理を推測する

数学的帰納法 (mathematical induction)

目的: ある構造の部分の (殆ど) 全てについて何かを証明する

「ある構造」は整数が多いが、木などもありうる

数学的帰納法は一般の分類では帰納では無く演繹である

情報テクノロジーでの数学的帰納法の応用

アルゴリズムやデータ構造の設計や性質の証明
プログラムについての証明
- 繰り返し
- 再帰

数学的帰納法の二つのステップ

基底 (base)
帰納 (induction)

整数の場合:

P(0) が成り立つことを証明する
P(k) が成り立てば P(k+1) も成り立つことを証明する

数学的帰納法の種類・変更

基底を P(0) ではなくて P(1) や P(2) などにする
P(n+1) の証明に k≤n の一部又は全てのP(k) を使う
一部の整数に限る (例えば偶数だけ、2ⁿ など)
整数そのものではなく、整数で整理できるものに応用する
枝分かれや他の構造を許す (条件: (半)順序)

演習題

次の証明のどこがおかしいのかを見つけてください。

全てお互いに平行ではない平面上の直線 n 本は全て一つの点を共有する。
証明:
1. 基底: n=2 の場合に明らかである。
2. 帰納: n+1 本の場合、最初の n 本にも、最後の n 本にも共通点があるので全ての n+1 本に共通点がある。

数学的帰納法の種類・変更

P(n+1) の証明に k≤n の全てのP(k) の証明を使う
基底を P(0) ではなくて P(1) とか P(2) にする
一部の整数に限る (例えば偶数だけ、2ⁿ など)
整数そのものではなくても、整数で整理できるものに応用する
枝分かれを許す

数学的帰納法の応用例

次の式を考えよう:

1 = 1

3 + 5 = 8

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 + 19 = 64

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125

この式に秘めている法則を仮説として明確にし、数学的帰納法で証明して下さい。

仮説

右辺には明らかに n³

左辺は全部奇数で、順番通り、奇数の数は n

仮説は次の通り: 最小の 1個の奇数の合計は 1³ で、その次の n個の奇数の合計が n³

証明は二段階で行い、いずれも帰納法を使う

一段階目の帰納法

ある合計の最小の奇数が n²-n+1 であることを帰納法で証明

基底: n=1 の場合、 n²-n+1 = 1 なので明らか

帰納:

ある k≥1 の場合、合計の最小の奇数は k²-k+1 であることを仮定し、m=k+1 の場合、合計の最小の奇数が m²-m+1 であることを証明

奇数と奇数の差は常に 2 で、k 行目には k個の奇数がある

k 行の最小の奇数から最後の奇数までの差が 2(k-1) で、k 行目の最小の奇数からm 行目の最小の奇数の差が 2k

よって、k²-k+1 + 2k = m²-m+1 を証明できればよい

m²-m+1 = (k+1)²-(k+1)+1 = k²+2k+1 - k-1 + 1 = k²-k+1+ 2k で証明済み

二段階目の帰納法

n²-n+1 という奇数を始め n個の奇数の合計は n³ であることを証明

基底: n=1 の場合奇数の数が 1個なので、n²-n+1 = n³ が n=1 の場合に明らか

帰納:

ある k≥1 の場合、k²-k+1 で始まる k 個の奇数の合計が k³ であることを仮定し、m=k+1 の場合、m²-m+1 で始まる m 個の奇数の合計が m³ であることを証明

k 行目の合計と m 行目の合計の差は、最初の k 個のそれぞれの差と最後の m 行目にしかない奇数からなる

m 行目の最後の奇数は m+1 行目の最初の奇数 -2 で、すなわち (m+1)²-(m+1)+1 - 2 である

最初の k 個のそれぞれの差は k回行の最初の奇数の差、すなわち k((m²-m+1)-(k²-k+1)) である

よって、差の合計は k((m²-m+1)-(k²-k+1)) + (m+1)²-(m+1)+1 - 2 である

これが m³ - k³ であることが証明できればよい

k((m²-m+1)-(k²-k+1)) + (m+1)²-(m+1)+1 - 2 =

k(((k+1)²-(k+1)+1)-(k²-k+1)) + ((k+1)+1)²-((k+1)+1)+1 - 2 =

k((k²+2k+1-k)-k²+k-1) + (k+2)²-k-3 = 2k² + k²+4k+4-k-3 = 3k² + 3k + 1 (1)

m³ - k³ = (k+1)³ - k³ = k³+3k²+3k+1 - k³ = 3k²+3k+1 (2)

(1) と (2) が同じなので、k行目とm行目の左辺の差と右辺の差が同じなので、証明が成立

構造的帰納法の例

仮説: 二分木 (binary tree) の場合、節 (node) の数が n で、葉 (leaf) の数が l の場合、n = 2l-1
二分木の定義: 次の条件を満たす有向グラフ:
- グラフに閉路がない
- 節 a から節 b への矢印が有れば、a を b の親、b を a の子と呼ぶ
- 「根」(root) と呼ばれる節以外、全ての節に親がある
- 節は2種類に分けられる:
  - 「葉」と呼ばれる子のない節
  - 子を2個持つ内部節 (internal node)

証明

根だけの非常に小さい木から少しずつ伸ばせば、どんな形の二分木でも作れる。伸ばし方の一歩として、ある葉の代わり二つの新しい葉が伸びる内部節にする方法を取る。

基底: 根だけの木の場合に、節の数が 1 で、葉の数も 1 なので n = 2l-1 が明らか。

帰納: 伸びる前の節の数を n, 葉の数を l、一歩伸びる後の節の数を n', 葉の数を l' にすると、次のことを証明しないといけない: n = 2l-1 → n' = 2l'-1

一歩伸びると節の数が n から n+2 に増え、葉の数が2個増えるが一個減るので、n'=n+2 かつ l'=l+2-1=l+1 が分かる。

以上の n = 2l-1 (1), n'=n+2 (2), l'=l+2-1=l+1 (3) の三つの式から n' を l' で表す式を求める:

(2) に (1) を適用: n' = 2l-1+2 = 2l+1 (4)

(3) の書き換え: l'-1 = l (5)

(4) に (5) を適用: n' = 2(l'-1) + 1 = 2l'-2+1 = 2l'-1

よって、帰納のステップが証明できましたので、証明が完成。