O 棟 529号室
http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2006/Math1/lecture4.html
© 2005 Martin J. Dürst 青山学院大学
[都合により削除]
nCm = n!/m!·(n-m)! を直感的に分かろう!
順列 (permutation): n の違うものから m 個を順番を配慮して選択するのはなん通り?
nPm = n·(n-1)·(n-2)·...·(n-m+2)·(n-m+1) = ∏ni=n-m+1 i = n!/(n-m)!
nCm は nPm から計算ができる: 要素が同じが順番が違う数で割る
nCm = nPm / mPm = n!/(n-m)! / m!/(m-m)! = n!/m!(n-m)!
| 論理和 | 論理積 | 論理不定 | ||
|---|---|---|---|---|
| 又は | かつ | でない | ||
| conjunction | disjunction | negation | ||
| or | and | not | ||
| 優先度 | 低 | 中 | 高 | |
| A | B | A ∨ B | A ∧ B | ¬B |
| F | F | F | F | T |
| F | T | T | F | F |
| T | F | T | F | |
| T | T | T | T | |
(提出不要)
論理演算の性質についてしらべる。
ヒント:
[都合により削除]
(duality principle)
論理演算の性質を調べてみると、ある性質で「∧」と「∨」、それに「T」と「F」を入れ代えると結果も性質として成り立つ。
これは一般に成り立つ。∧ と ∨ の真理表で確かめて証明が可能。
これを双対原理という。性質を覚えるために役に立つ。
(A ∨ ¬B) ∧ B
次の真理表 (論理関数) を考える:
| A | B | C | ? |
| F | F | F | F |
| F | F | T | T |
| F | T | F | F |
| F | T | T | T |
| T | F | F | T |
| T | F | T | T |
| T | T | F | F |
| T | T | T | F |
この真理表に相当する論理関数を論理式で表しなさい。
加法標準形 (選言標準形、disjunctive normal form): 変数の (否定の) 積の和
乗法標準形 (連言標準形、conjunctive normal form): 変数の (否定の) 和の積
標準形の性質:
(加法標準形の場合; 乗法標準形は双対原理を使って同等)
得られる式はなぜ正しいのか:
| A | B | C | ? | 加法標準形の項 |
| F | F | F | T | ¬A ∧ ¬B ∧ ¬C |
| F | F | T | T | ¬A ∧ ¬B ∧ C |
| F | T | F | F | - |
| F | T | T | F | - |
| T | F | F | F | - |
| T | F | T | T | A ∧ ¬B ∧ C |
| T | T | F | F | - |
| T | T | T | T | A ∧ B ∧ C |
全体の結果: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧¬C
三つは基本的に同じことをやるが、使う｢道具」(式、図、表) が違う。
下の二つの方法は標準形の構造 ((否定) の積の和等) を保つ。違う構造でもっと単純にできる例もある。
例: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ⇒ A∧C∧ (B ∨ ¬B) ⇒ A∧C
以前のスライドの式全体: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧¬C ⇒ A∧C ∨ ¬A∧¬B
注意: 複数の単純化の道で、複数の結果がありうる。複数をやってみるが、混乱しないように注意。
提出: 再来週の土曜日 (11月 4日)、22:00 (厳守)、Moodle
にて。形式はプレーンテキスト。ファイルめーは
solution4.txt (例,
メモ帳など)
| A = F B = F |
A = F B = T |
A = T B = F |
A = T B = T |
簡単な式 |
| F | F | F | F | F |
| F | F | F | T | A ∧ B |
| F | F | T | F | ? |
| ? | ? | ? | ? | ? |
| A | B | A ∧ B |
| F | F | F |
| F | T | F |
| T | F | F |
| T | T | T |