情報数学 I

第八回: 関係の応用

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2006/Math1/lecture8.html

© 2006 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

先週の復習
関係の種類・性質
同値類
推移的閉包
半順序と全順序

先週の復習

ミニテスト
関係の表現
- 行列
- 表
- 有向グラフ
逆関係 (< ↔ >, 親 ↔ 子供など)
関係の合成

関係の種類

A の中の関係 R に対して次の性質がありうる:

反射的 (reflexive): xRx; x∈A ⇒ (x, x) ∈ R
対称的 (symmetric): xRy ⇒ yRx; (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
反対称的 (asymmetric): xRy ∧ yRx ⇒ x=y
推移的 (transitive): xRy ∧ yRz ⇒ xRz

反射的関係

(reflexive relation)

定義: 反射的関係 xRx において、全ての x∈A の場合 (x, x) ∈ R である
確認の仕方: 行列において、対角線は全て T

対称的関係

(symmetric relation)

定義: 対称的関係 xRy において、全ての (x, y) ∈ R の場合 (y, x) ∈ R である
確認の仕方: 行列が対角線に反射しても変わらない
例: =, 兄弟, 友達??

反対称的関係

(antisymmetric relation)

定義: 全ての x, y において xRy ∧ yRx ⇒ x=y であれば関係 R は反対称的である
~~確認の仕方: 行列において、対角線に反射されている場合に、対角線以外の全てのところ T が F に、F が T に変わる~~
確認の仕方: 行列において、対角線において反射的位置にある二つの真理値の内たかだか一つが真
例: <, ≤, 「割れる」など

推移的関係

(transitive relation)

定義: 全ての x, y, z において xRy ∧ yRz ⇒ xRz であれば関係 R は推移的である
確認の仕方: R を自分と合成させ、結果が R であれば推移的
例: ≤, ≥, 子孫、先祖など

関係の性質の組み合わせ

関係の性質の組み合わせ (計16個) のそれぞれの可能性と(可能な場合) 例を考えると次の表が作れる。

例は * の場合 {a, b, c, d} の中の関係、それ以外は {a, b, c} の中の関係

反射的	対称的	推移的	反対称的	可能性・例など
T	T	T	T	{(a,a), (b,b), (c,c)} (恒等関係)
T	T	T	F	{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)} (同値関係)
T	T	F	T	不可能
T	T	F	F	{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
T	F	T	T	{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)} (半順序関係)
T	F	T	F	{(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d), (d,d)}*
T	F	F	T	{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c)}
T	F	F	F	{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a)}
F	T	T	T	{(a,a), (c,c)}
F	T	T	F	{(a,a), (a,c), (c,a), (c,c)}
F	T	F	T	不可能
F	T	F	F	{(a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
F	F	T	T	{(a,a), (a,c)}
F	F	T	F	{(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d)}*
F	F	F	T	{(a,b), (b,c)}
F	F	F	F	{(a,b), (b,c), (b,a)}

同値関係と同値類

反射的、対称的、かつ推移的な関係を同値関係 (equivalence relation) と言う。
同値関係によってある元 a の関係する元の全ての集合を a の同値類 (equivalence class) と言う、[a] とも書く。a は [a] の代表元と言う。
同値関係によって A の分割 (partition) ができる。
直積集合も同値関係である。

推移的閉包

関係 R を結果が変わらなくなるまで自分と合成する結果を推移的閉包 (transitive closure) と言う。
R∘R∘R∘...
「変わらなくなるまで繰り返す」は情報テクノロジーにおいてよく使われる手法である

int change = 1;
Data data = START;
while (change) {
    change = 0;
    /* calculate new data */
    if (/* data changed */)
        change = 1;
}

半順序

反射的、反対称的、かつ推移的な関係を半順序関係 (semiorder relation) と言う。単に順序関係 (order relation) とも言う。
その順序関係が定義された集合を半順序集合 (semiordered set) あるいは単に順序集合と言う。
順序関係によく ≤ と言う記号が使われる
順序関係 ≤ に対して、順序関係 ≥ を双対な関係という

順序関係の例

1 以上の整数やその部分集合の「割れる」と言う関係
大相撲の場所で勝ち負けが矛盾しない場合
テニスみたいな勝ち抜けトーナメント
複数の仕事で、一部前後関係がある場合
授業で「前にとっておかないと取れない」場合

順序関係の表現

有向グラフからハッセ (Hasse) 図へ

全順序

ある集合 A の全ての元 a と b に対して a≥b 又は a≤b が成り立つ場合にはその順序関係を全順序関係、あるいは線形順序関係という

例: 整数、実数など; 日付や時間; 辞書での単語の順番