情報数学 I

第八回: 関係の応用

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2007/Math1/lecture8.html

AGU

© 2005-7 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

これからの予定

先回の復習

関係の種類

A の中の関係 R に対して次の性質がありうる:

  1. 反射的 (reflexive): xRx; x∈A ⇒ (x, x) ∈ R
  2. 対称的 (symmetric): xRy ⇒ yRx ; (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
  3. 反対称的 (antisymmetric): xRy ∧ yRx ⇒ x=y
  4. 推移的 (transitive): xRy ∧ yRz ⇒ xRz

反射的関係

(reflexive relation)

対称的関係

(symmetric relation)

反対称的関係

(antisymmetric relation)

推移的関係

(transitive relation)

関係の性質の組み合わせ

関係の性質の組み合わせ (計16個) のそれぞれの可能性と(可能な場合) 例を考えると次の表が作れる。

例は * の場合 {a, b, c, d} の中の関係、それ以外は {a, b, c} の中の関係

反射的 対称的 推移的 反対称的 可能性・例など
T T T T {(a,a), (b,b), (c,c)} (恒等関係)
T T T F {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)} (同値関係)
T T F T 不可能
T T F F {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
T F T T {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)} (半順序関係)
T F T F {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d), (d,d)}*
T F F T {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c)}
T F F F {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a)}
F T T T {(a,a), (c,c)}
F T T F {(a,a), (a,c), (c,a), (c,c)}
F T F T 不可能
F T F F {(a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
F F T T {(a,a), (a,c)}
F F T F {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d)}*
F F F T {(a,b), (b,c)}
F F F F {(a,b), (b,c), (b,a)}

同値関係と同値類

推移的閉包

int changed = 1;
Data data = START;
while (changed) {
    changed = 0;
    /* calculate new data */
    if (/* data changed */)
        changed = 1;
}

半順序

順序関係の例

順序関係の表現: ハッセ図

有向グラフからハッセ (Hasse) 図への変換:

  1. グラフを矢が全て紙面の下辺に向けるように配置
  2. 反射的矢印を省略
  3. 推移的閉包で復元可能な矢印を省略
  4. 矢印の頭の部分を省略

例 1: 上記 1. から 4. の前後関係

例 2: {10, 5, 3, 2, 1} の「割り切れる」関係

全順序

ある集合 A の全ての元 a と b に対して a≥b 又は a≤b が成り立つ場合にはその順序関係を全順序関係、あるいは線形順序関係という

例: 整数、実数など; 日付や時間; 辞書での単語の順番

来週の準備

12月19日 (水) の授業を忘れないこと