情報数学 I

第九回: 半順序からブール代数へ

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2007/Math1/lecture9.html

© 2005-7 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• これからの予定
• 半順序とハッセ図
• 代数系
• 群、置き換え群
• ブール代数

これからの予定

• 今週は授業が二回:
  • 12月19日 (水)
  • 12月21日 (金)
• 1月11日 (金)
• 補講は 1月16日 (水) に決まった
  (2限、E-203)
• 1月18日 (金)
• 定期試験: 1月25日 (金), 11:10-12:35

半順序

• 反射的、反対称的、かつ推移的な関係は半順序関係 (semiorder relation)
• 単に順序関係 (order relation) とも言う
• その順序関係が定義された集合を半順序集合 (semiordered set) あるいは単に順序集合と言う。
• 順序関係によく ≤ と言う記号が使われる
• 順序関係 ≤ に対して、順序関係 ≥ を双対な関係という

順序関係の表現: ハッセ図

有向グラフからハッセ (Hasse) 図への変換:

1. グラフを矢が全て紙面の下辺に向けるように配置
2. 反射的矢印を省略
3. 推移的閉包で復元可能な矢印を省略
4. 矢印の頭の部分を省略

例 1: 上記 1. から 4. の前後関係

例 2: {10, 5, 3, 2, 1} の「割り切れる」関係

全順序

ある集合 A の全ての元 a と b に対して a≥b 又は a≤b が成り立つ場合にはその順序関係を全順序関係、あるいは線形順序関係という

例: 整数、実数など; 日付や時間; 辞書での単語の順番

上記の「≥」および「≤」はあくまで代表的な記号で、直接「以上」などでない場合がある

代数系

(algebraic system)

• 集合が一つ (以上)
• その集合の元の間の演算が一つ以上 (結果もまたその集合の元)
• 公理が一つ以上
• 公理から演算の性質が証明できる

代数系の例: 群

(group)

演算は二項演算「∘」一つ。公理:

• 結合律
• 単位元の存在
• 逆元 (inverse element) の存在

例: (Z; +), (R-{0}; ×), 置換群 (permutation group)

置換群

• n 次置換群は n 個の要素の置き換えすべてを含まれる
• 置換群の要素は 1..n の順列で表す
  例: (2, 4, 1, 3) は (猫、犬、馬、牛) を (犬、牛、猫、馬) に置き換える
• 置換群の二次演算は置き換えの連結
  例: (2, 4, 1, 3) ∘ (1, 4, 2, 3) = (2, 3, 4, 1)
• 単位元は「何もしない」置き換え
  例: (1, 2, 3, 4)
• 結合律は成立するが、交換律は成り立たない:
  例: (2, 4, 1, 3) ∘ (1, 4, 2, 3) ≠ (1, 4, 2, 3) ∘ (2, 4, 1, 3)

代数の例

• 可換群 (アベル群、Abelian group): 群に交換律を追加
  例: (Z; +), (R-{0}; ×)
• 半群 (semigroup): 交換律だけ、単位元と逆元が無い
• 環 (ring): 加法と乗法という二つの演算があり、加法に対して可換群、乗法に対して半群、乗法は加法に対して分配可能 (例: 多項式環)
• 体 (field)
• 束 (lattice): 二つの演算に対して結合律と交換律、そしてお互いに吸収律が成り立つ

ブール代数

(boolean algebra)

• 論理演算、集合演算、半順序の「交差点」
• 論理演算、集合演算、一部の半順序の上位概念
• B = (B, 0, 1, ¬, ∧, ∨) は次の条件でブール代数となる:
  • 0 ∈ B, 1 ∈ B (1 は単位元、0 は零元と言う)
  • ¬ はB上の単項演算、∧ と∨は二項演算
  • ∧と∨について交換律、結合律と分配率が成り立つ
  • a ∈ B の場合に a ∨ 0 = a, a ∧1=a が成り立つ
  • a ∈ B の場合に a ∨¬a = 1, a ∧¬a = 0 が成り立つ
  • 公理はもっと少なめでよいが、複数のやり方が存在
• ブール代数は半順序、束の一種
• 注意: 0、1、∧ など太字のものは代表で、具体的の意味ではない

ブール代数の例 (1): 集合演算

• B は (有限) 集合 U のベキ集合
• 0 は空集合
• 1 は U
• ¬ は補集合演算
• ∧ は積集合演算
• ∨ は和集合
• 半順序関係は ⊂ (部分集合)

ブール代数の例 (2): ビット毎論理演算

• B は
• 0 は
• 1 は
• ¬ は
• ∧ は
• ∨ は
• 半順序関係は

ブール代数の例 (3)

• B は
• 0 は
• 1 は
• ¬ は
• ∧ は
• ∨ は
• 半順序関係は

有限ブール代数の構造

• 有限ブール代数は全て |B| = 2ⁿ である
• 有限ブール代数は全て同じ構造である (n 次元の立方体の辺)
• n のブール代数は全て同型 (isomorphic) である
• ブール代数は全て同じ性質が成り立つ (公理から証明可能)

ブール代数の同型

• 部分集合はビット列で表せる
• 集合の演算は論理演算で表せる
  例: A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}