データ構造とアルゴリズム

第十二回 (2008年12月 19日)

NP-完全性、帰着可能性

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2008/DA/lecture12.html

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

© 2008 Martin J. Dürst 青山学院大学

今回の目的

• 「簡単な問題」とそうでない問題を見分ける
• 視野の拡大、アルゴリズムの「宇宙」の展望

問題例 1: 3-SAT

• n 個の論理変数
• その変数で作られている論理式
• 論理式は (否定の) 和の積
• 和はそれぞれ三つの項
• 問題: 式が真になる様に変数の値を決定
• 問題の変形: その様な変数の値の存在の有無
• 具体例 (' が否定):
  (x₁∨x₂∨x₅) ∧ (x₁'∨x₃∨x₄') ∧ (x₂∨x₄∨x₅) ∧ (x₁'∨x₃'∨x₅')
• 解答候補は O(2ⁿ)
• それを全部調べると時間も O(2ⁿ)
• それより早いアルゴリズムは知られてない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない

問題例 2: 独立集合

(Independent Set)

• n 個の元の集合 (グラフの頂点)
• 元と元の間に競合 (conflict) がありうる (頂点が辺で結ばれている)
• 問題: 競合がないようなできるだけ大きい部分集合を算出
• 問題の変形: k 以上の競合のない部分集合の有無
• 解答候補は O(2ⁿ)
• それを全部調べると時間も O(2ⁿ)
• それより早いアルゴリズムは知られてない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない

問題例 3: 巡回セールスマン

(Traveling Salesman)

• n 個の「町」
• 全ての町と町の間の「距離」(時間や費用でもよい)
• 問題: 全ての町に一回だけ立ち寄る一番短い (費用の少ない) 巡回
• 問題の変形: k 以下の長さ (費用) の巡回の有無
• 解答候補は O(n!)
• それを全部調べると時間も O(n!)
• それより早いアルゴリズムは知られてない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない

問題例の共通点

• 具体的な応用が大いにありそう
• 総当たり法より根本的に良いアルゴリズムが知られてない
• 総当たり法で解こうとすると指数的時間 (exponential time) が必要
• n が大きい場合 (例: 100)、事実上解けない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない
• 同じ共通点を持つ問題が多い

多項式時間と指数的時間

• 多項式問題は「手に負える問題」(tractable)
• 指数的問題は「手に負えない問題」(intractable)

多項式時間の特徴

• 指数が大きい問題 (例: O(n¹⁰⁰)) は殆どない
• 多項式の加算と乗算はまた多項式
• 多項式時間は計算機のモデルの選択にそれほど左右されない (例: 並列計算機)
• 多項式時間の問題を一部別扱いしたい場合に、分岐点の選択が困難
• 多項式時間で解ける問題の集合を P と書く

NP 問題

• 問題例 1-3 の変形は全て NP 問題
• NP 問題の特徴:
  答えが「真」の場合、証拠があればすぐ (多項式時間で) 確認可能
• NP の由来:
  Nondeterministic Polynomial 非決定性多項式時間
  同時に何台も計算機が使えれば多項式時間で解ける
• P の問題は場合によって微妙な変更で NP になる
  例: グラフ内の二頂点間の一番短い経路と一番長い経路
• NP 問題は数多く存在
• P ⊆ NP
• P = NP ?
• P ≠ NP ?

決定問題

(decision problem)

• 結果は真か偽しかない問題
• 他の問題の「置き換え」ができる
  最適化問題: k 以上 (や以下) で可能かどうか
• 決定問題が元の問題より複雑になる可能性がない
• 決定問題が理論的に扱いやすい
• NP 問題は定義上決定問題
• NP 問題に置き換えられる問題は「NP 困難」(NP-hard) という

NP 内の問題の比較

• NP 内を整理
• 問題の比較

帰着

(reduction)

• 概要: ある問題 A を別の問題 B に置き換えて解ける (ことを証明する)
• A の入力 ⇒ (変換) ⇒ B のアルゴリズム ⇒ (変換) ⇒ A の出力
• 変換は二つとも多項式時間で行う
• A が B に帰着可能の場合、A ≦_P B と書く
• 即ち、A が B より簡単か同じ難しさ
• 実例: 3-SAT を独立集合に帰着

NP 完全性

• 全ての NP 問題を帰着できる NP 問題を NP 完全問題という
• 殆どの NP 問題は NP-完全であるが、そうではない問題もありそう

NP 困難 (NP-hard): NP 完全の決定問題に変換できる問題

計算複雑性理論

(computational complexity theory)

• 目的: 計算問題の根本的な分類
• 分類の要素:
  • 計算量 (時間)
  • メモリ量
  • 回路の形
  • 並列処理など

まとめ

• 多項式時間で (いまだに) 解けない問題が存在
• その多くは NP 完全 (又は NP 困難) 問題
• 難しい問題を早めに見分けるのが大事
• NP 完全の問題より解けにくい問題もある