情報数学 I

第十二回 (12月19日)

量記号の場合の注意点:

∀x: P(x) ∧ ∀x: R(x) = ∀x: (P(x) ∧ R(x))
例: 全ての学生において、30歳以下である、かつ全ての学生において、理工学部在籍である = 全ての学生において、30歳以下かつ理工学部在籍である
∀x: P(x) ∨ ∀x: R(x) → ∀x: (P(x) ∨ R(x))
左から右への例: 全ての学生において、30歳以上である、又は全ての学生において、理工学部在籍である → 全ての学生において、30歳以上又は理工学部在籍である
右から左への反例: 全ての学生において、男性である又は女性である
しかし、全ての学生が男性である、又は全ての学生が女性であるが偽
∃x: P(x) ∨ ∃x: R(x) = ∃x: (P(x) ∨ R(x))
例: ある学生において、東京都出身である、又はある学生において神奈川県出身である = ある学生において、東京都出身である又は神奈川県出身である
∃x: P(x) ∧ ∃x: R(x) ← ∃x: (P(x) ∧ R(x))
右から左への例: ある学生において、広島県出身であるかつ女性である → ある学生において、広島県出身である、かつある学生において、女性である
左から右へな反例: ある学生において、北海道出身であるかつある学生において女性である
ある学生において北海道出身であるかつ女性であるとは限らない

演繹 (えんえき、deduction): 一般の原理から特定な場合を推論する

帰納 (induction): 少数の事実から一般の原理を推測する

数学的帰納法 (mathematical induction)

目的: ある構造の部分の (殆ど) 全てについて何かを証明する

「ある構造」は整数が多いが、木などもありうる

数学的帰納法は一般の分類では帰納では無く演繹である

整数の場合:

次の証明のどこがおかしいのかを見つけてください。

全てのお互いに平行ではない平面上の直線 n 本は全て一つの点を共有する。
証明:
1. 基底: n=2 の場合に明らかである。
2. 帰納: n+1 本の場合、最初の n 本にも、最後の n 本にも共通点があるので全ての n+1 本に共通点がある。

お願い: できるだけ自由記述を使って、具体的に書いてください