情報数学 I

第七回 (2008年11月 14日)

A から B への関係 P、B からC への関係 Q に対して P と Q の合成 (composition) が定義されている
P と Q の合成 R の場合 R = P∘Q と書く
R = P∘Q = {(x, y) | (x, z) ∈ P, (z, y) ∈ Q}
注: 数学の分野などによって、Q∘P と書くこともある
- P∘Q は行列の掛け算が由来
- Q∘P は関数の合成が由来
  (f(x) と g(y) の合成は f(g(y))
- この授業では P∘Q を使用

A の中の関係 R に対して次の性質がありうる:

(reflexive relation)

(symmetric relation)

(antisymmetric relation)

(transitive relation)

関係の性質の組み合わせ (計16個) のそれぞれの可能性と(可能な場合) 例を考えると次の表が作れる。

例は * の場合 {a, b, c, d} の中の関係、それ以外は
{a, b, c} の中の関係

反射的	対称的	推移的	反対称的	可能性・例など
T	T	T	T	{(a,a), (b,b), (c,c)}
T	T	T	F	直積集合など; 同値関係; {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)}
T	T	F	T	不可能
T	T	F	F	{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
T	F	T	T	半順序関係; {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}
T	F	T	F	{(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d), (d,d)}*
T	F	F	T	{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c)}
T	F	F	F	{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a)}
F	T	T	T	{(a,a), (c,c)}
F	T	T	F	{(a,a), (a,c), (c,a), (c,c)}
F	T	F	T	不可能
F	T	F	F	{(a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
F	F	T	T	{(a,a), (a,c)}
F	F	T	F	{(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d)}*
F	F	F	T	{(a,b), (b,c)}
F	F	F	F	{(a,b), (b,c), (b,a)}

反射的、対称的、かつ推移的な関係を同値関係 (equivalence relation) と言う。
同値関係によってある元 a の関係する元の全ての集合を a の同値類 (equivalence class) と言う、[a] とも書く。a は [a] の代表元と言う。
同値関係によって A の分割 (partition) ができる。

int change = 1;
while (change) {
    change = 0;
    /* process data */
    if (/* data changed */)
        change = 1;
}