情報数学 I

第十回 (2009年12月11日)

2 進数とビット毎演算

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2009/Math1/lecture10.html

© 2005-09 Martin J. Dürst 青山学院大学

今週の予定

• 先週の残りとまとめ
• ブール代数
• ビット毎演算
• 2 進数、16進数
• 基数変換

先週のまとめ

• 代数系
• 群と置換群
• ブール代数

2 進数と 16 進数の対応

数の表現: 10進法

205 = 2×10² + 0×10¹ + 5×10⁰

34.56 = 3×10¹ + 4×10⁰ + 5×10^-1 + 6×10^-2

数の表現: 2進法

1010011 = 1×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ =

数の表現: 16進法

1AF = 1×16² +A×16¹ +F×16⁰ =

2 の何乗

基数変換

n 進数から 10 進数: それぞれの桁の値と桁の重みの積の和

10 進数から n 進数:

23 = 11×2¹ + 1×2⁰ = 5×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 2×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 10111

変換したい数を最初の商にして、繰り返し商を n で割って、余りを最下位の桁にする

n 進数から m 進数:

• 10 進数経由で変換
• n が m の何乗 (もしくは逆) の場合、桁を組み合わせて、組毎に変換

情報テクノロジーでよく使う基数

冗談の宿題

Q: Why do computer scientist always think Christmas and Halloween are the same ?

質問: なぜ情報テクノロジーの専門家はクリスマスとハロウィーンをいつも誤解するか。

もう一つの冗談

質問: 情報テクノロジーで還暦は何歳か

よく使われるビット毎演算

データ型によって 8 ビット (1 バイト)、16 ビット、32 ビット、64 ビット

• かつ、ビット毎 AND 演算 (bitwise and): 多くのプログラム言語で & と書く
• 又は、ビット毎 OR 演算 (bitwise or): 多くのプログラム言語で | と書く
• 排他的論理和、ビット毎 XOR 演算 (bitwise xor): 多くのプログラム言語で ^ と書く
• ではない、ビット毎 NOT 演算 (bitwise not): 多くのプログラム言語で ~ と書く

ビット毎演算の用途:

• 集合の表現と演算
• 性質の記述とチェック
• データの細かい操作 (例えばデータ変換やデータ圧縮など)

他のビット演算

• 左シフト:
  • 多くのプログラム言語で << と書く。
  • b << n では b のビットをそれぞれ n 個左にずらし、右から 0 で埋める。左から n 個のビットは消える。
  • オーバフローがない場合 b << n は b ×2ⁿ と同じ。
• 右シフト:
  • 多くのプログラム言語で >> と書く。
  • b >> n では b のビットをそれぞれ n 個右にずらす。左から0で埋めるか最上位のビットを複写するのかはプログラム言語・データ型・実装による。右から n 個のビットは消える。
  • 左から 0 で埋める場合 b >> n は b / 2ⁿ と同じ。

ビット毎演算で足し算