情報数学 I

第三回: 組み合わせ、命題 (2009年 10月 9日)

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2009/Math1/lecture3.html

今回の目次

前回からの残り
Moodle について
前回の宿題
組み合わせとパスカルの三角形
命題
論理式の作り方と使い方
論理演算
今週の宿題

前回からの残り

集合演算の法則
集合の限界
演算子の様々な法則

演算子の法則

演算子に色々な法則が考えられる

演算子と被演算子の種類によって成り立つか
成り立たないか

よくあるパターン (雛形) に名前が付いている:

交換律 (commutative law)
結合律 (associative law)
分配律 (distributive law)
など

演算子の法則の例

名前: 交換律 (commutative law)

パターン (△ は「何かの演算子」): a △ b = b △ a

成り立つ具体例:

a, b が整数、有理数、実数、複素数で △ が +, ·
a, b が集合で △ が ∩, ∪

成り立たない例:

整数などの -, /
行列の ·
集合の -

Moodle について

先週の宿題 (1, 2)

現在，諸事情により閲覧不可

先週の宿題 (3)

現在，諸事情により閲覧不可

先週の宿題 (4)

現在，諸事情により閲覧不可

先週の宿題 (5)

現在，諸事情により閲覧不可

パスカルの三角形

(Pascal's triangle)

一行目の (0 ... 0) 1 (0 ... 0) からスタートし、左上と右上の数を足し合わせると出来る。

                  1
                1   1
              1   2   1
            1   3   3   1
          1   4   6   4   1
        1   5  10  10   5   1
      1   6  15  20  15   6   1
    1   7  21  35  35  21   7   1
  1   8  28  56  70  56  28   8   1

パスカルの三角形の性質

インドで紀元前から知られ、多くの性質が知られている。

ここで次の関係や性質を証明する:

部分集合の数とパスカルの三角形
パチンコ玉の道の数とパスカルの三角形
部分集合と組み合わせ
パスカルの三角形の一ヶ所の直接の計算

部分集合の数とパスカルの三角形

集合 A で |A| = n の場合、部分集合の数
|{B|B⊂Aかつ|B|=m}| を _nC_m と書く
_nC_n = 1 (全集合の大きさの部分集合は 1)
_nC₀ = 1 (空の部分集合は空集合一つ)
_nC_m = _n-1C_m-1 + _n-1C_m を n>0, 0<m<n の場合に証明できればよい (証明の手法: 数学的帰納法)
|D|=n-1 から |A| = n の集合を作ると元が一つ増える。これを g と書いておく。
A の g を含まない大きさ m の部分集合は D の大きさ m の部分集合と数が同じ。
A の g を含む大きさ m の部分集合は D の大きさ m-1 の部分集合と数が同じ。

パチンコ玉の道の数とパスカルの三角形

パスカルの三角形の列で、数の間にピンをおく
最上の 1 から玉を流す
違う道の数を数える
ある高さまでの違う道の数の合計は 2ⁿ となる
ある場所までの違う道の数はパスカルの三角形の数と同じ

部分集合と組み合わせ

組み合わせ論は情報テクノロジーにおいて大切
組み合わせ論は色々な条件、制限の場合の「違う」ものを数えて論じるのが目的
単に「組み合わせ」というとある集合からだぶりのない様にある数のものを順番を気にせずに選ぶという意味
これはちょうど部分集合の数と同じ
組み合わせは英語で combination と言って、これは _nC_m の C の由来
他に順列 (permutation)、重複順列 (repeated permutation)、重複組み合わせ (repeated combination) などが存在

パスカルの三角形の一ヶ所の直接計算

_nC_m = n!/m! (n-m)!
```
 
   
   
   
   
   
  
```

階乗

(factorial)

書き方: n!

定義: n! = 1 · 2 · ... (n-1) · n = ∏ⁿ_i=1 i

問題:

1! = 1

0! = 1

演算の単位元

(unit element, identity element, neutral element)

足し算の単位元: 0
掛け算の単位元: 1
集合和の単位元: {}
集合積の単位元: U

複数の演算を行うプログラムの構造

具体例 (合計):

int sum = 0;
for (i=0; i<end; i++)
    sum += array[i];

一般の構造

C プログラム言語の場合:

type result = 単位元;
for (i=0; i<end; i++)
    result = result 演算子 array[i];

Ruby の場合:

array.inject(単位元) do |memo, next|
  memo 演算子 next
end

命題

(proposition 又は statement)

正しいか正しくないかが客観的に決められる文 (命題は正しいものでも正しくないものでも良い)

命題ではないのは主観的な記述、質問、一部が決定されてない、代名詞や変数を含む場合など。

命題の例と判例

例:

2 掛ける 2 が 4 である。
10 が 5 より小さい。
明日 (2009/10/09) は淵野辺に雨が降る。

反例 (命題ではない):

彼女の誕生日は今日 (2009/10/09) である。理由: 彼女が未定
今朝いつ起きたか。理由: 質問
納豆は美味しい。理由: 主観的な意見

命題の真偽

命題は正しいか正しくないかである。

「正しい」は「真」(しん、true) とも言って、1、T や ⊤ と書く

「正しくない」は「偽」(ぎ、false) とも言って、0、F や ⊥ と書く

真偽のプログラム言語での取り扱い

C の場合、整数の 0 は「偽」と相当で、0 以外の整数 (特に 1) は「真」と相当。真理値に整数の型が使われる。
Java の場合、「真」は true で、「偽」は false で、整数の型 (int) と真理値の型 (boolean) は全く別。

命題の演算: 「かつ」

二つの命題 A と B があるとすると次の命題が作れる:

A かつ B (A AND B)

これは「A ∧ B」と書く。A·B や A B と書くこともある。

A ∧ B は A とも B とも真の場合だけ真、そのほかの場合は偽。

これは関数とも考えられる: AND(A, B)

真理表

命題の真偽を定義したり、証明したり、調べたりするには真理表がよく使われる:

「かつ」の真理表
`A`	`B`	`A` ∧ `B`
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

論理演算などの情報テクノロジーでの役割

実世界の事実のモデル化
プログラム言語の論理演算のモデル化
電子回路のモデル化

モデル化

実世界の事実の是非を命題でとらえる
事実の関係を命題の関係でとらえる
命題の関係を論理式で整理する
整理の結果を実世界に応用する

真理演算

論理演算子は一つ以上の命題から複合命題を作る。

一番よく使われる基本的な論理演算子は次:

「かつ」: and, A ∧ B (論理積、conjunction)
「又は」: or, A ∨ B (論理和、disjunction)
「でない」: not, ¬A (論理否定、negation)

論理和 (disjunction)

二つの命題 A と B から次の命題が作れる: A 又は B

「A 又は B」 (A or B) は A ∨ B (又はA+B) と書く。

A ∨ B は A とも B とも偽の場合だけ偽。

真理表で表すと次になる:

`A`	`B`	`A` ∨ `B`
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

論理否定 (negation)

「A ではない」(not A) は ¬A と書く。A', A, ~A と書くこともある。

¬A は A が真の場合に偽、偽の場合に真。

真理表で表すと次になる:

`A`	¬`A`
T	F
F	T

論理式の構成

論理演算子と命題 (変数) で論理式が作られる。

例: (A ∨ (¬B)) ∧ C

優先度と括弧の省略:

演算子に優先度が付いている。優先度の高い順から適用される。括弧は優先度が合わない時だけ必要。

論理演算子の優先度は「¬」が「∧｣より高く、「∧｣が「∨」より高い。

論理式の評価の例

例: (A ∨ (¬B)) ∧ B

(¬B) の括弧が必要ない: (A ∨ ¬B) ∧ B

真理表を使った評価

`A`	`B`	`¬B`	`A` ∨ ¬`B`	`(A ∨ ¬B) ∧ B`
T	T	F	T	T
T	F	T	T	F
F	T	F	F	F
F	F	T	T	F

今週の宿題

(提出なし) _nC_m = n!/m! (n-m)! を証明しなさい。
ヒント: 部分集合の足し会わせを参照
(提出なし) 論理演算の性質についてしらべなさい。
ヒント1: 集合演算の性質を参考にしたらどうか
ヒント2: 真理表を使って確認する