情報数学 I

第四回: 論理関数とその変換と単純化 (2009年 10月23日)

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2009/Math1/lecture4.html

© 2005-09 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の目標

論理関数と論理式を操る

今日の内容

• 前回のまとめ、宿題
• 命題論理の性質
• 整論理式、論理関数、双対原理
• 真理表から論理式への変換
• 標準形の作り方
• 論理式の単純化

前回のまとめ

• パスカルの三角形、組み合わせ、部分集合の数の関係
• 階乗と単位元
• 命題、真と偽
• 論理演算: 論理積 (かつ)、論理和 (又は)、論理否定 (ではない)
• 論理式、優先度、真理表

前回の宿題

[都合により削除]

追加: 組合わせの式の理由と順列

_nC_m = n!/m!·(n-m)! を直感的に分かろう!

順列 (permutation): n 個の違うものから m 個を順番を考慮して選択するのはなん通り?

_nP_m = n·(n-1)·(n-2)·...·(n-m+2)·(n-m+1) = ∏ⁿ_i=n-m+1 i = n!/(n-m)!

_nC_m は _nP_m から計算ができる: 要素が同じで順番が違う数で割る

_nC_m = _nP_m / _mP_m = n!/(n-m)! / m!/(m-m)! = n!/m!(n-m)!

論理演算の復習

前回の宿題: 命題論理の性質

[都合により削除]

整論理式

(well-formed formula, WFF)

目的: 論理式をなんとなく作ったが、(文法を) 明確にしたい

次のものは整論理式:

• 命題や命題変数
• W と V が整論理式である場合、次のものも整論理式である:
  • (W)
  • ¬W
  • W ∧ V
  • W ∨ V
• この定義に当てはまらもの以外は整論理式ではない
  (注: 授業の後半に新たな論理演算子が追加される)

論理関数

(ブール関数、Boolean function)

0個以上の論理引数 (ブール引数) から真偽値を返す関数

論理引数は真と偽の値しか取らないので論理関数は少ない

論理演算の双対原理

(duality principle)

論理演算の性質を調べてみると、ある性質で「∧」と「∨」、それに「T」と「F」を入れ代えると結果も性質として成り立つ。

これは一般に成り立つ。∧ と ∨ の真理表で確かめて証明が可能。

これを双対原理という。

性質を覚えるのに便利

性質を使った式の変更 (簡略化)

(A ∨ ¬B) ∧ B

真理表から論理式へ

次の真理表 (論理関数) が与えられている

この真理表に相当する論理関数を論理式で表しなさい。

標準形

加法標準形 (選言標準形、disjunctive normal form): 変数の (否定の) 積の和

乗法標準形 (連言標準形、conjunctive normal form): 変数の (否定の) 和の積

標準形の性質:

• 作成が簡単
• どの真理表 (論理関数) に対しても作成可能
• 式の深さは浅い (回路で高速に実装できる)
• 式が大きくなる可能性がある (回路で場所を取る)

標準形作成

加法標準形の場合 [乗法標準形の場合は [] 内 (双対原理使用)]

1. 真理表に結果が T [F] の行だけに注目
2. 注目の行で A, B, C,... 全ての変数の論理積 [和] を作成
3. ある行にある変数が F [T] であるところだけの変数を否定
4. 注目した行で作った式 (項) を論理和 [積] でつないで標準形が完成

得られる式はなぜ正しいのか:

• それぞれの項が積 [和] であって、その行の値の場合しか T [F] で、他の全ての行の値の場合には F [T]
• 全体の式は和 [積] なので、どちらかの結果が T [F] の行の場合で T [F]、その他の全ての行の場合に F [T]

標準形作成の例

全体の結果: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧¬C

論理関数の単純化の方法

• 標準形の式の操作
• カルノー図表 (Karnaugh map)

二つは基本的に同じことをやるが、使う｢道具」(式、図) が違う。

カルノー図表は標準形の構造 ((否定) の積の和等) を保持

違う構造でもっと単純にできる例も存在

論理関数の単純化: 式の操作

• あらゆる性質の適用を試してみて、簡単化
• 一番多い:
  一つの因子の否定の有無だけ違う二つの項を見つけ、一つの項にまとめる。(これはカルノー図表でやる作業と類似)

例: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ⇒ A∧C∧ (B ∨ ¬B) ⇒ A∧C

以前のスライドの式全体: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧¬C ⇒ A∧C ∨ ¬A∧¬B

注意: 複数の単純化の道で、(式の構成が) 異なる結果が可能

論理関数の単純化: カルノー図表

• 二次元の真理表を作る。次元毎に変数の半分ぐらいを与える。
• 真理表の値の順番を隣接するものができるだけ似ているように変える。
• 真理値表の T のところだけ記入する (F は省略)。
• 真理値表に隣り合っている二つの T を線で囲む。両方の端にある枠も隣り合うと見なす (円筒やトーラス (ドーナッツ))。
• 二つの線で囲んだところが隣り合ったら別の色の線で囲む。できる限り二つ、四つ、八つ等の T を線で囲む。それぞれの囲みが単純化した式の一部に当たる。
• 全ての T が囲まれているようにできるだけ少ない囲みを選んでそれに相当する式を結果として書く。(複数の結果もありうる)
• 双対原理で F を使っても可能

カルノー図表の例

今週の宿題

提出: 来週の木曜日 (10月 29日)、22:00 (厳守)、Moodle にて。形式はプレーンテキスト。ファイル名は solution4_xxxxxxxx.txt (例, メモ帳など; xxxxxxxx は八桁の学籍番号)

第一問:

• 二つの変数 (例: A, B) で可能な論理関数を全て表に列挙してください。(一行に一関数)
• その関数毎にできるだけ簡単な式を見つけてください。

• 解答例:

  A = F B = F	A = F B = T	A = T B = F	A = T B = T	簡単な式
  F	F	F	F	F
  F	F	F	T	A ∧ B
  F	F	T	F	?
  ?	?	?	?	?

• 説明: 上のテーブルの三行目は次の真理表に相当する。同色の部分は同じもの。同様の真理表が合計 16個ある。

  A	B	A ∧ B
  F	F	F
  F	T	F
  T	F	F
  T	T	T

第二問:

四つの変数 (例: A, B, C, D) の論理関数を一つ、サイコロ等を使って作ってください。
その論理関数の二つの標準形と一つ以上の単純化を計算しなさい。