情報数学 I

第五回 (2009年11月 6日)

論理回路と記号論理

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2009/Math1/lecture5.html

© 2005-09 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の目次

• 前回の宿題と復習
• 論理回路
• 記号論理

今回の主な目的

• 論理演算子と論理回路の関係が分かる
• 論理回路が書ける
• 記号論理の目的と性質が分かる

前回の復習

• 組み合わせと順列: _nC_m = n!/(m!·(n-m)!), _nP_m = n!/(n-m)!
• 論理演算の性質は集合演算の性質とそっくり
• 双対原理
• 加法標準形 (選言標準形、disjunctive normal form): 変数の (否定の) 積の和
• 乗法標準形 (連言標準形、conjunctive normal form): 変数の (否定の) 和の積

前回の宿題

[都合により削除]

XOR, NAND, NOR

今までの論理演算子以外に、回路やプログラミングによく使う演算子がある:

• 「いずれか一つ」: xor, A ⊕ B (C など: a^b; 排他的論理和、exclusive or): 暗号学など幅広い応用
• NAND, ¬(A ∧ B)
• NOR, ¬(A ∨ B)

論理回路

論理関数を実際に計算する回路を作ることが可能

論理演算と電気 (電子) 回路の関係は 1938 年に C. Shannon が修士論文で発表

論理回路の部品は「ゲート」

あるゲートの出力を次のゲートの入力につなぐことが可能

実際の回路では出力を元のゲートに戻すことなどもあるが、その場合には論理回路ではなくなる。

論理回路の場合に真と偽の代わりに 1 と 0 を使うのが普通

論理回路に使う (主な) ゲート

論理回路の例

この例は半加算器 (half adder) を実現する (足し算一ビットごとに二個必要)

論理回路の書き方

• 入力は左、出力は右
• 入力と出力の線に変数名や式を表記
• 線は交差のところつないでいるかどうかを明記
• (N)AND と (N)OR のゲートの場合交換律と結合律が成り立つため、入力の数は無制限

NAND、NOR の特徴

NAND だけ (又は NOR だけ) で全ての論理関数が実現可能

証明 (NOR の場合):

標準系で ∧、∨、と ¬ を使って全ての論理関数が実現可能

上記の三つの演算子を NOR で実現できれば証明ができる。

¬ A =

A ∧ B =

A ∨ B =

Q.E.D.

NAND の場合には双対原理を使って証明できる。

記号論理

(symbolic logic)

• 論理のモデルを作って、記号演算だけで論理ができるようにする。
• 論理にはいくつかの種類がある。例えば:
  • 二値論理 (真と偽だけ)
  • 多値論理 (真と偽以外の値がある)
  • ファジィ論理 (曖昧さの計算を含む)
  • 命題論理 (propositional logic, 命題だけを使う)
  • 述語論理 (predicate logic, 一階 (first order) 等)
  • 時間など他の要素を取り入れた論理

論理に大切な演算子

• 「同値である」: equiv, A ↔ B (同値、equivalence)
  A と B が同じ値の場合だけ T
• 「ならば」: imp, A → B (含意、implication)
  A が T で B が F の場合だけ F
  例: 情報数学 I に合格するならば三月に沖縄に旅行に行く。

同値と含意の真理表

「同値である」と「ならば」の性質

(「=」と「↔」などの使い分けに注意)

1. 含意の除去: A→B = ¬A∨B = ¬(A∧¬B)
2. 同値の除去: A↔B = (A→B)∧(B→A) = (A∧B)∨(¬A∧¬B)
3. 推移律: ((A→B) ∧ (B→C)) ⇒ (A→C),
   ((A↔B) ∧ (B↔C)) ⇒ (A↔C)
4. 背理法: A→¬A = ¬A
5. 対偶: A→B = ¬B→¬A
6. 同値の性質: A↔B = ¬A↔¬B, ¬(A↔B) = (A↔¬B)
7. 含意の性質: T→A = A, F→A = T, A→T = T, A→F = ¬A

恒真と恒偽

• 常に真の式を「恒真式」と呼ぶ。
  トートロジー (tautology) ともいう。
• 常に偽の式を「恒偽式」と呼ぶ。

今週の宿題

提出: 再来週の木曜日 (11月12日)、22:00 (厳守)、Moodle にて。形式はプレーンテキスト。ファイル名は solution5_xxxxxxxx.txt (例, メモ帳など; xxxxxxxx は八桁の学籍番号)

二つの変数 (例: A, B) で可能な論理関数を全て表に列挙し、それぞれの関数を NAND だけの式で書きなさい。