データ構造とアルゴリズム

第十四回 (2011年1月18日)

近似アルゴリズム

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2010/DA/lecture14.html

Martin J. Dürst

© 2009-11 Martin J. Dürst 青山学院大学

目次

• 前回の復習
• NP 問題への対策
• 近似アルゴリズム
• これからの予定

NP 問題への対応

• NP 完全問題や NP 困難の問題は多い
• 実用的な問題が多い
• 効率的なアルゴリズムは知られてない
• 実用的な対策が必要

NP 問題への対策

• 問題の変更・限定
• 実用的なデータへの対応
• 近似アルゴリズムの設計・使用

一般的な方法もあるが、ある問題に特化したものが多い

NP 問題の変更

具体例: 巡回セールスマン問題

• コストが平面上の直線の距離
• コストが三角不等式を満たす (最適解の 1.5 倍以内の多項式時間のあるがリズムがある)
  など

実用的なデータへの対応

具体例: 3SAT

• 変数の数に比べて式が長い
  → 解が存在しないことを見せるのは簡単
• 変数の数に比べて式が短い
  → 解を見つけることが簡単
• 変数の数に比べて式が中間の長さ
  → 本当に難しい

細かい調整などで現実的な使用が可能

毎年大会がある: http://www.satcompetition.org

近似アルゴリズム

• 完璧な解がなくてもそれに近いものが欲しい
• 多くの近似アルゴリズムでは
  「最適解より何倍以内離れている」
  ということが保証できる
• 問題に特化した近似アルゴリズム
• 一般的な近似方法
  • シミュレーテッドアニーリング
  • 遺伝的アルゴリズム
  • 等

問題に特化した近似アルゴリズム

具体例: ロード・バランシング
複数の t_i の時間がかかる仕事をm 個の機械でできるだけ早く終わらせる

• アルゴリズム 1:
  • 仕事を順番に一番まだ仕事が少ない機械に配置
  • 合計時間は最適解の二倍以内
• アルゴリズム 2:
  • 仕事を大きい順に一番まだ仕事が少ない機械に配置
  • 合計時間は最適解の 1.5倍以内

シミュレーテッドアニーリング

(simulated annealing, 焼き鈍し法)

• 名前の由来: 温度を少しずつ下げながら結晶を創出
• ある解から出発
• 乱数を使って解を変更し、新しい解の候補を作成
• 変更を少しずつ小さくする (温度を下げる)
• 現在より最適な解を保持
• 悪化した解も一部保持

遺伝的アルゴリズム

(genetic algorithm)

• 解を遺伝的情報に例える
• 最初は複数の乱数で作った解から出発
• 各世代において交叉 (組み替え) と突然変異で新しい解を作成
• いい方の解を乱数を交えて生き残す

これからの予定

• 1月21日 (金): 期末試験
• 三年前期: 言語理論とコンパイラ