データ構造とアルゴリズム

第三回 (2010年10月8日)

抽象データ型とデータ構造、スタック、キューなど

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2010/DA/lecture3.html

Martin J. Dürst

© 2008-10 Martin J. Dürst 青山学院大学

目次

• 前回からの残り、まとめ、宿題
• 抽象データ型
  • スタック
  • キュー
  • 辞書

計算量の比較: 具体から抽象へ

• 実行時間の測定
  問題: 機種依存、プログラム言語依存など
• ステップの数え上げ
  問題: 入力の具体的なデータに依存
• 最悪の場合のステップの数え上げ
  問題: データの大きさに依存
• 漸近記号
  計算量の本質を抽象化

漸近的な増加の例

(asymptotic growth)

ステップの数を式で表すとどうなる

線形探索: 5n+2; 2分探索: 8 ⌈log₂(n+1)⌉ + 3

データの個数が多くなると式のどの項が重くなる

 線形探索: 5n; 2分探索: 8 log₂n

関数のオーダー

注意点

＝の意味

f (n) = O(g (n)) と書くが、

f (n) ∈ O(g (n)) の方が意味に近い

対数の底

O(log₂ n) と O(log₁₀ n) はどう違うか

単純化

O(n^a + n^b) ⇒O(n^a) [a > b の前提で]

O(a) ⇒

よくあるオーダー

O(n): データの大きさに比例、全てのデータをチェック

O(log n), O(n log n): 二分探索など、データを小分けして処理する場合

O(n²), O(n³): データの二つ、三つの組み合わせを考える場合

O(2ⁿ): データの全ての部分集合を検討する場合など

多項式の重要性

• 「有用」といわれる計算量は問題によって違う
• 一般的には
  • 多項式時間 (polynomial time) は有用
  • 指数時間 (exponential time) は現実的でない

抽象データ型

(abstract data type, ADT)

• データとそれを操作する関数のセット
• データは関数を使わないと操作できない
• 膨大なソフトウェアのモジュール化のための概念
• データの完全性のための概念
  例: 誕生日と年齢
• 理論で型理論とつながる
• オブジェクト指向による実装が多い
  • 型 → クラス (class)
  • 関数 → メソッド (method)

スタック

(stack)

具体例

食堂の食膳の山

IT の例

プログラムの関数呼び出しのためのスタック

原理

last-in-first-out (LIFO)

主なメソッド

新規作成 (new), 追加 (push), 削除 (pop)

その他のメソッド

空かどうかのチェック (empty?)、長さ (size)、最上のデータ項目をのぞく (top)

スタックの公理

つぎの六つの公理からスタックの全ての性質を導くことが可能

1. Stack.new.empty? ↔ true
2. s.push(e).empty? ↔ false
3. Stack.new.size ↔ 0
4. s.push(e).size ↔ s.size + 1
5. s.push(e).top ↔ e
6. s.push(e).pop ↔ s (pop はデータではなく、スタックを返す)

(s が任意のスタック、e が任意のデータ項目)

キュー

(queue)

具体例

食堂などの待ち行列

IT の例

実行待ちプロセスのキュー

原理

first-in-first-out (FIFO)

ADT の比較

実装: 3ADTs.rb

演習: 3ADTs.rb にあるクラスを使うプログラムを作成しなさい。

キューの実装

リングバッファ (ring buffer)

双方向連結リスト

線形リスト

(linear list)

辞書

(dictionary)

次回のための準備

• 次の関数をオーダの順にならび、その理由を付けなさい。

  O(n²), O(n!), O(n log log n), O(n log n), O(20ⁿ),

• 順位キュー (priority queue) という ADT を実装しなさい (Ruby でも他言語でもよい)

  順位キューは各要素ごとに優先度 (整数など) が付く。一番簡単な場合にデータ項目は優先度だけ。優先度の高いものが先にキューから出る。実装は配列でも連結リストでもよい。