情報数学 I

第十二回: 合同算術 (2011年 1月 7日)

試験範囲:: 授業・プリントの全ての内容
問題の種類:: ミニテストと同様やそれに似た形式
過去の試験の例: 2005年度, 2006年度, 2007年度、2008年度 (解答例一部欠落): 閲覧には Opera を推奨
図と解答例の一部は欠落
解答例は「表示」→「スタイル」→「solutions」で表示可能
注意点:: 問題をよく読む (計算、証明、説明などの区別); 概念の定義を自分の言葉でおさえる; 計算のところ (n 進法、真理表など) をスピードを意識して練習; 綺麗な字で書く

量記号の場合の注意点:

∀x: P(x) ∧ ∀x: R(x) = ∀x: (P(x) ∧ R(x))
例: 全ての学生において、30歳以下である、かつ全ての学生において、理工学部在籍である = 全ての学生において、30歳以下かつ理工学部在籍である
∀x: P(x) ∨ ∀x: R(x) → ∀x: (P(x) ∨ R(x))
左から右への例: 全ての学生において、30歳以上である、又は全ての学生において、理工学部在籍である → 全ての学生において、30歳以上又は理工学部在籍である
右から左への反例: 全ての学生において、男性である又は女性である
しかし、全ての学生が男性である、又は全ての学生が女性であるが偽
∃x: P(x) ∨ ∃x: R(x) = ∃x: (P(x) ∨ R(x))
例: ある学生において、東京都出身である、又はある学生において神奈川県出身である = ある学生において、東京都出身である又は神奈川県出身である
∃x: P(x) ∧ ∃x: R(x) ← ∃x: (P(x) ∧ R(x))
右から左への例: ある学生において、広島県出身であるかつ女性である → ある学生において、広島県出身である、かつある学生において、女性である
左から右へな反例: ある学生において、北海道出身であるかつある学生において女性である
ある学生において北海道出身であるかつ女性であるとは限らない

(modular arithmetic)

1801 年にガウス (Gauss) によって発表
全集合は ℤ (整数)
合同式 (congruence (equation)):
a ≡ b (mod n) <=> a - b = qn <=> a = q₁n + r ∧ b = q₂n + r ∧ 0 ≦ r < n
n は法 (modulus)と呼ぶ
r は剰余 (residue)
a ≡ b (mod n) は a ≡ b (modulo n) 又は a ≡_n b とも書く

合同式と情報テクノロジー

お願い: できるだけ自由記述を使って、具体的に書いてください