情報数学 I

第十三回: 証明の方法（2011年 1月14日）

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2010/Math1/lecture13.html

© 2006-11 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• これからの予定
• ミニテストについて
• 合同算術 (続き)
• 証明の方法
• 数学的帰納法

これからの予定

• 1月19日 (水曜日) 14回目の授業 (補講)
• 1月21日: 期末試験 11:10-12:35 (85分間)
• 期末試験の過去問 (追加): 2009年度

ミニテストについて

• 採点はほぼ終了
• 返却時間は Moodle でアナウンスする予定
• 返却場所は O棟529号室の前
• [結果について]
• 必ず自分のものだけ受け取る
• 友達、知合いのものは頼まれても受け取らない
• 後の人も見つけやすいように整理整頓は当然

合同式の性質

• a ≡ b ∧ c ≡ d ⇒ a + c ≡ b + d (mod n)
• a ≡ b ∧ c ≡ d ⇒ a - c ≡ b - d (mod n)
• a ≡ b ∧ c ≡ d ⇒ ac ≡ bd (mod n)
• a ≡ b ⇒ a^m ≡ b^m (mod n)
• a ≡ b ∧ c ≡ d ⇏ a / c ≡ b / d (mod n)

剰余演算

(modulo operation)

• 演算子: % (C や Ruby をはじめ多くのプログラム言語)、mod (数学)
• a ≡ b (mod n) <=> a mod n = b mod n

剰余演算の性質

• (a + c) mod n = (a mod n + c mod n) mod n
• (a - c) mod n = (a mod n - c mod n) mod n
• (a · c) mod n = (a mod n · c mod n) mod n

理由: a ≡ a mod n (mod n) など

合同式の応用: 剰余演算の単純化

例: 2¹⁶ mod 29 = ?

2¹⁶ = 2⁵ · 2⁵ · 2⁵ · 2

2¹⁶ = 2⁵ · 2⁵ · 2⁵ · 2 = 32 · 32 · 32 · 2 ≡_{(mod 29)} 3 · 3 · 3 · 2 = 54 ≡_{(mod 29)} 25

数字和と数字根

数字和 (digit sum): それぞれのけたの数字の合計

数字根 (digit root): 数字和を一桁になるまでに繰り返す

十進法での応用例: 1839275 の数字和は 1+8+3+9+2+7+5 = 35; 35 の数字和は 3+5 = 8; 1839275 の数字根は 8

十六進法の例: A36FB の数字和は A+86+F+B (10+86+15+11) = (42) 2A; 2A の数字和は 2+A (2+10) = (12) C; A3FB の数字根は C

合同式の応用: 九去法

(casting out nines)

• n 進法の数字根は n-1 で割ったときの剰余と同じ
• 元の演算が合ったら、数字根での演算は当然合う
• 数字根での演算では演算の間違えの一部が確認可能 (演算の正確さの確認は不可能)
• 応用例: 次の二つの計算のうち、一つだけ正しかったら、どちらでしょうか:
  2485938 · 4962483 = 12336425064054
  2354987 · 2498472 = 5883469079864

配布テキストについて

• (有名な) 言語理論の教科書から
  言語理論やオートマトン理論についての語句は無視してよい
• 一般的で分かりやすいので配布
• たまに違う「方言」を使用
• 試験の範囲に含む

証明の方法

(一部前回資料参照)

演繹と帰納

演繹 (deduction): 一般の原理から特定な場合を推論する

帰納 (induction): 少数の事実から一般の原理を推測する

数学的帰納法 (mathematical induction)

目的: ある構造の部分の (殆ど) 全てについて何かを証明する

「ある構造」は整数が多いが、木などもありうる

数学的帰納法は一般の分類では帰納では無く演繹である

情報テクノロジーでの数学的帰納法の応用

• アルゴリズムやデータ構造の設計や性質の証明
• プログラムについての証明
  
  • 繰り返し
  • 再帰

数学的帰納法の二つのステップ

1. 基底 (base)
2. 帰納 (induction)

整数の場合:

1. P(0) が成り立つことを証明する
2. P(k) が成り立てば P(k+1) も成り立つことを証明する

数学的帰納法の種類・変更

• 基底を P(0) ではなくて P(1) や P(2) などにする
• P(n+1) の証明に k≤n の一部又は全てのP(k) を使う
• 一部の整数に限る (例えば偶数だけ、2ⁿ など)
• 整数そのものではなく、整数で整理できるものに応用する
• 枝分かれや他の構造を許す (条件: (半)順序)

演習問題

次の証明のどこがおかしいのかを見つけてください。

• 全てのお互いに平行ではない平面上の直線 n 本は全て一つの点を共有する。

  証明:

  1. 基底: n=2 の場合に明らかである。
  2. 帰納: n+1 本の場合、最初の n 本にも、最後の n 本にも共通点があるので全ての n+1 本に共通点がある。

復習

次回の授業の後半にみなさんの希望に応じて復習

質問、疑問などなんでも結構