情報数学 I

第九回 (2010年12月 3日)

半順序からグルーブへ

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2010/Math1/lecture9.html

AGU

© 2005-10 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

前回の復習

A の中の関係 R に対して次の性質がありうる:

  1. 反射的 (reflexive): xRx; x∈A ⇒ (x, x) ∈ R
  2. 対称的 (symmetric): xRy ⇒ yRx ; (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
  3. 反対称的 (antisymmetric): xRy ∧ yRx ⇒ x=y
  4. 推移的 (transitive): xRy ∧ yRz ⇒ xRz

前回の宿題: 関係の性質の組み合わせ

関係の性質 (反射的、対称的、推移的、反対称的) の有無の組合せを一つ一つ調べ、できるだけ小さい具体例 (例えば {a, b, c} の中の関係とか {a, b, c, d} の中の関係として) を作りなさい。

反射的 対称的 推移的 反対称的 可能性・例など
T T T T {(a,a), (b,b), (c,c)}
T T T F 直積集合など; 同値関係; {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)}
T T F T 不可能
T T F F {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
T F T T 半順序関係; {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}
T F T F {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d), (d,d)}*
T F F T {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c)}
T F F F {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (b,a)}
F T T T {(a,a), (c,c)}
F T T F {(a,a), (a,c), (c,a), (c,c)}
F T F T 不可能
F T F F {(a,b), (b,c), (b,a), (c,b)}
F F T T {(a,a), (a,c)}
F F T F {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d)}*
F F F T {(a,b), (b,c)}
F F F F {(a,b), (b,c), (b,a)}

例は * の場合 {a, b, c, d} の中の関係、それ以外は {a, b, c} の中の関係

半順序

順序関係の例

順序関係の表現: ハッセ図

有向グラフからハッセ (Hasse) 図への変換:

  1. 反射的矢印を省略
  2. グラフを矢印が全て紙面の下辺に向けるように配置
  3. 推移的閉包で復元可能な矢印を省略
  4. 矢印の頭の部分を省略

例 1: 上記 1. から 4. の前後関係 (同一のものは「前後関係あり」とみなす)

例 2: {10, 5, 3, 2, 1} の「割り切れる」関係

同値関係と半順序の行列表現

全順序

ある集合 A の全ての元 a と b に対して a≥b 又はb≥a が成り立つ場合には ≥ を全順序関係、あるいは線形順序関係という

例: 整数、実数など; 日付や時間; 辞書での単語の順番

代数系

(algebraic system)

代数系の例: 群

(group)

演算は二項演算「∘」一つ。公理:

例: (Z; +), (R-{0}; ×), 対称群 (symmetric group)

対称群

代数の例