情報数学 I

第十回 (2011年12月 16日)

ブール代数とビット毎演算

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2011/Math1/lecture10.html

© 2005-11 Martin J. Dürst 青山学院大学

今週の予定

• これからの予定
• 先週の残りとまとめ
• ブール代数
• ビット毎演算
• 10進数以外の足し算

これからの予定

• 1月 6日 (金): 11回目の授業
• 1月13日 (金): 12回目の授業
• 1月18日 (水曜日1限、補講): 13回目の授業
• 1月20日 (金): 14回目の授業
• 1月21日~2月3日: 期末試験

補講についての注意

ブール代数

(boolean algebra)

• 論理演算、集合演算、半順序の「交差点」
• 論理演算、集合演算、一部の半順序の上位概念
• B = (B, 0, 1, ¬, ∧, ∨) は次の条件でブール代数:
  • 0 ∈ B, 1 ∈ B (1 は単位元、0 は零元と言う)
  • ¬ はB上の単項演算、∧ と∨は二項演算
  • ∧と∨について交換律、結合律と分配率が成立
  • a ∈ B の場合に a∨0 = a, a∧1 = a が成立
  • a ∈ B の場合に a∨¬a = 1, a∧¬a = 0 が成立
  • 公理はもっと少なめでよいが、複数の決め方が存在
• ブール代数は半順序、束の一種
• 注意: 0、1、∧ など太字のものは代表で、具体的の意味ではない

ブール代数の例 (1): 集合演算

• B は (有限) 集合 U のベキ集合
• 0 は空集合
• 1 は U
• ¬ は補集合演算
• ∧ は積集合演算
• ∨ は和集合
• 半順序関係は ⊂ (部分集合)

ビット毎演算

• 計算機の中で情報は全てビットの列で表現可能
• ビット毎演算はビット毎の論理演算
• ビット毎否定 (bitwise not): 1ビット1ビット毎に ¬ を適応 (C 言語等で ~)
• ビット毎論理積 (bitwise and): 同じ位のビット毎に ∧ を適応 (C 言語等で &)
• ビット毎論理和 (bitwise or): 同じ位のビット毎に ∨ を適応 (C 言語等で |)

  ビット毎排他的又は (bitwise xor): 同じ位のビット毎に XOR を適用 (C 言語等で ^)

ブール代数の例 (2): ビット毎論理演算

• B は すべての長さ n のビット列の集合
• 0 は すべて 0 の長さ n のビット列
• 1 は すべて 1 の長さ n のビット列
• ¬ は ビット毎否定
• ∧ は ビット毎論理積
• ∨ は ビット毎論理和
• 半順序関係は ビット毎の順序の論理積

ブール代数の例 (3)

• B は
• 0 は
• 1 は
• ¬ は
• ∧ は
• ∨ は
• 半順序関係は

有限ブール代数の構造

• 有限ブール代数は全て |B| = 2ⁿ である
• 有限ブール代数は全て同じ構造である (n 次元の立方体の辺)
  (4次元の立方体の例)
• n のブール代数は全て同型 (isomorphic)
• ブール代数は全て同じ性質が成り立つ (公理から証明可能)

ブール代数の例の同型

• 部分集合はビット列で表現可能
• 集合の演算は論理演算で表現可能
  例: A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

ビット毎演算の用途

• 集合の表現と演算
• 性質の記述とチェック
• データの細かい操作 (例えばデータ変換やデータ圧縮など)

データ型によって 8 ビット (1 バイト)、16 ビット、32 ビット、64 ビットを同時に実行

他のビット演算

• 左シフト:
  • C 言語等で << と書く。
  • b << n では b のビットをそれぞれ n 個左にずらし、右から 0 で埋める。左から n 個のビットは消える。
  • オーバフローがない場合 b << n は b ×2ⁿ
• 右シフト:
  • C 言語等で >> と書く。
  • b >> n では b のビットをそれぞれ n 個右にずらす。左から0で埋めるか最上位のビットを複写するのかはプログラム言語・データ型・実装による。右から n 個のビットは消える。
  • 左から 0 で埋める場合 b >> n は b / 2ⁿ

ビットごと演算の応用例

• ビット列 a でマスク m のビットをセット:
  a | m
• ビット列 a でマスク m のビットを削除:
  a & ~m
• ビット列 a でマスク m のビットを逆転:
  a ^ m
• ビット列 a で右から n 番目のビットをセット:
  a | (1<<n) (一番右が 0番目)
• ビット列 a で右から n 番目のビットを削除:
  a & ~(1<<n) (一番右が 0番目)
• ビット列 a で右から n 番目のビットを逆転:
  a ^ (1<<n) (一番右が 0番目)

その他にも多数の応用例 (Hacker's Delight, Henry S. Warren, Jr., Addison-Wesley, 2003 参照)

ビット毎演算で足し算

ビットごと演算だけでの足し算

• 入力 a=a₀ と b=b₀ から「合計」(sum) s₀ = a₀ ^ b₀ と「繰越」(carry) c₀ = a₀ & b₀ を計算
• a₁ = s₀ と b₁ = c₀ << 1 にし、計算をc が 0 になるまで繰り返す
• 実例: a₀ = 1011101、b₀ = 1101111