情報数学 I

第十二回: 合同算術 (2012年 1月13日)

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2011/Math1/lecture12.html

© 2006-12 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• これからの予定
• 前回の復習
• 合同算術
• (証明の方法)
• 授業改善のための学生アンケート

これからの予定

• 1月18日 (水曜日1限、補講): 13回目の授業
• 1月20日 (金): 14回目の授業
• 1月27日(金曜日2限、11:10-12:35): 期末試験

前回の復習

• 記号論理の種類: 命題論理、述語論理など
• 述語は命題と違って、引数を取る
• 述語では命題より一般的な記述、推論が可能
• 全称限量子 (∀) と存在限量子 (∃)

量記号の復習

量記号の場合の注意点:

• 全集合の把握
• 書き方 (コロン、括弧など)
• 使用する述語の定義
• 自由変数の存在

量記号の性質の具体例

• ∀x: P(x) ∧ ∀x: R(x) = ∀x: (P(x) ∧ R(x))
  例: 全ての学生において、30歳以下である、かつ全ての学生において、理工学部在籍である = 全ての学生において、30歳以下かつ理工学部在籍である
• ∀x: P(x) ∨ ∀x: R(x) → ∀x: (P(x) ∨ R(x))
  左から右への例: 全ての学生において、30歳以上である、又は全ての学生において、理工学部在籍である → 全ての学生において、30歳以上又は理工学部在籍である
  右から左への反例: 全ての学生において、男性である又は女性である
  しかし、全ての学生が男性である、又は全ての学生が女性であるが偽
• ∃x: P(x) ∨ ∃x: R(x) = ∃x: (P(x) ∨ R(x))
  例: ある学生において、東京都出身である、又はある学生において神奈川県出身である = ある学生において、東京都出身である又は神奈川県出身である
• ∃x: P(x) ∧ ∃x: R(x) ← ∃x: (P(x) ∧ R(x))
  右から左への例: ある学生において、広島県出身であるかつ女性である → ある学生において、広島県出身である、かつある学生において、女性である
  左から右へな反例: ある学生において、北海道出身であるかつある学生において女性である
  ある学生において北海道出身であるかつ女性であるとは限らない

合同算術

(modular arithmetic)

• 1801 年にガウス (Gauss) によって発表
• 全集合は ℤ (整数)
• 合同式 (congruence (equation)):

  a ≡_{(mod n)} b ⇔ a - b = qn ⇔ a = q₁n + r ∧ b = q₂n + r ∧ 0 ≦ r < n

• n は法 (modulus)と呼ぶ
• r は剰余 (residue)
• a ≡_{(mod n)} b は a ≡ b (mod n) 又は a ≡ b (modulo n) 又は a ≡_n b とも書く

合同関係

• 各法 n は ℤ において合同関係を作る
• 合同関係は同値関係
• 同値類は合同類 (congruence class) 又は剰余類 (residue class) と呼ぶ
• 一般に合同類の代表 k は 0 ≦ k < n のようにとる
• 代表は剰余演算の結果 (注: 負の数の場合に、定義による)

合同式の性質

• a ≡ b ∧ c ≡ d ⇒ a + c ≡ b + d (mod n)
• a ≡ b ∧ c ≡ d ⇒ a - c ≡ b - d (mod n)
• a ≡ b ∧ c ≡ d ⇒ ac ≡ bd (mod n)
• a ≡ b ⇒ a^m ≡ b^m (mod n)
• a ≡ b ∧ c ≡ d ⇏ a / c ≡ b / d (mod n)

剰余演算

(modulo operation)

• 演算子: % (C や Ruby をはじめ多くのプログラム言語)、mod (数学)
• a ≡ b (mod n) <=> a mod n = b mod n

剰余演算の性質

• (a + c) mod n = (a mod n + c mod n) mod n
• (a - c) mod n = (a mod n - c mod n) mod n
• (a · c) mod n = (a mod n · c mod n) mod n

理由: a ≡ a mod n (mod n) など

合同式の応用: 剰余演算の単純化

例: 2¹⁶ mod 29 = ?

2¹⁶ = 2⁵ · 2⁵ · 2⁵ · 2

2¹⁶ = 2⁵ · 2⁵ · 2⁵ · 2 = 32 · 32 · 32 · 2 ≡_{(mod 29)} 3 · 3 · 3 · 2 = 54 ≡_{(mod 29)} 25

数字和と数字根

数字和 (digit sum): それぞれのけたの数字の合計

数字根 (digit root): 数字和を一桁になるまでに繰り返す

十進法での応用例: 1839275 の数字和は 1+8+3+9+2+7+5 = 35; 35 の数字和は 3+5 = 8; 1839275 の数字根は 8

十六進法の例: A8FB の数字和は A+8+F+B (10+8+15+11) = (44) 2C; 2C の数字和は 2+C (2+12) = (14) E; A3FB の数字根は E

合同式の応用: 九去法

(casting out nines)

• n 進法の数字根は n-1 で割ったときの剰余と同じ
• 元の演算が合ったら、数字根での演算は当然合う
• 数字根での演算では演算の間違えの一部が確認可能 (演算の正確さの確認は不可能)
• 応用例: 次の二つの計算のうち、一つだけ正しかったら、どちらでしょうか:
  2485938 · 4962483 = 12336425064054
  2354987 · 2498472 = 5883469079864

授業改善のための学生アンケート

お願い: できるだけ自由記述を使って、具体的に書いてください