データ構造とアルゴリズム

第十二回 (2013年 1月11日)

アルゴリズムの設計方針

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2012/DA/lecture12.html

Martin J. Dürst

© 2009-13 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• これからの予定
• 前回の残り
• アルゴリズムの設計方針
• 手に負える・負えない問題
• 授業改善のための学生アンケート

これからの予定

• 1月15日 (火曜日1限、補講): 13回目の授業
• 1月18日 (金): 14回目の授業
• 1月25日 (金) 9:30-10:55: 期末試験

補講についての注意

アルゴリズムの設計方針

• 単純なアルゴリズム
• 総当たり方 (腕力法、虱潰し、brute force)
• 貪欲アルゴリズム (greedy algorithm)
  部分的な選択で最適な解を得る
• 分割統治法 (divide and conquer)
  重複しない部分問題に分割
• 動的計画法 (dynamic programming)
• ネットワークフロー (network flow)
  コストをグラフ上に移動しながら最適化

ナップサック問題

• ある容量 c (重さ又は体積) のナップサックと
• n 個の品 s₁,..., s_n (それぞれ重さ、そして問題の種類によって価値がある)
• ナップサックの最適な詰め方を求める

問題の詳細によって、アルゴリズムが変わる

ナップサック問題の変形

1. 同じ品を何個詰めるか
   
2. 品をできるだけ数多く詰む
   
3. 容量をできるだけ利用する (整数編)
   
4. 価値をできるだけ多くする

詰める品が全部同じ

具体例: 容量 c = 20kg, 品の重さは全て 3.5㎏

「アルゴリズム」: ナップサックの容量を品の重さで割る

具体例の正解: 5品

設計方針: 単純なアルゴリズム

単純なアルゴリズム

• アルゴリズムとは言い難い
• 具体例:
  • ソートされたデータで三番目に小さいものを選ぶ
  • 長方形の面積を辺の長さから算出
  • 数列などの「閉じた式」(closed formula)
• 計算機の速い時代で意外と忘れがち

品をできるだけ多く詰める

具体例: 容量 c = 20kg, 品の重さは 8kg, 2kg, 4kg, 7kg, 2kg, 1kg, 5kg, 12kg

アルゴリズム: 品を昇順に並び替え (1kg, 2kg, 2kg, 4kg, 5kg, 7kg, 8kg, 12kg)、一番軽いものから詰める

具体例の正解: 5個 (例えば 1kg, 2kg, 2kg, 4kg, 5kg)

設計方針: 貪欲アルゴリズム

貪欲アルゴリズム

• 最終の解を少しずつ積み上げる
• 局所的な最適解だけ考慮
• 部分構造の最適性 (optimal substructure) が条件が、構造が動的計画法と違う
• 計算量では O(n) や O(n log n) などが多い
• 応用例: つり銭の計算など

容量をできるだけ利用する (整数編)

具体例: 容量 c = 20kg, 品の重さは 8kg, 2kg, 4kg, 7kg, 2kg, 1kg, 5kg, 12kg

アルゴリズム: 容量 c' ≦ c と品 s₁,..., s_k (k ≦ n) の部分問題を検討 (O(cn))

具体例の正解 (例): 8kg, 2kg, 4kg, 1kg, 5kg (合計20kg)

設計方針: 動的計画法

価値をできるだけ多くする

具体例: 8kg, 500円; 2kg, 2000円; 4kg, 235円; 7kg, 700円; 2kg, 400円; 1kg, 1円; 5kg, 450円; 12kg, 650円

アルゴリズム: すべての組み合わせを試す

設計方針: 総当たり方

実装: Cknapsack.rb

ナップサック問題の変形 (総括)

1. 同じ品を何個詰めるか
   解決: ナップサックの容量を品の重さで割る
   設計方針: 単純なアルゴリズム
2. 品をできるだけ数多く詰む
   解決: 軽い品から容量を超える寸前まで詰む
   設計方針: 貪欲アルゴリズム
3. 容量をできるだけ利用する (整数編)
   解決: 容量 c' ≦ c と品 s₁,..., s_k (k ≦ n) の部分問題を検討 (O(cn))
   設計方針: 動的計画法
4. 価値をできるだけ多くする
   設計方針: 総当たり方

これからの目的

• 「簡単な問題」とそうでない問題を見分ける
• 視野の拡大、アルゴリズムの「宇宙」の展望

問題例 1: 3-SAT

• n 個の論理変数
• その変数で作られている論理式
• 論理式は (否定の) 和の積
• 和はそれぞれ三つの項
• 問題: 式が真になるように変数の値を決定
• 問題の変形: そのような変数の値の存在の有無
• 具体例 (' が否定):
  (x₁∨x₂∨x₅) ∧ (x₁'∨x₃∨x₄') ∧ (x₂∨x₄∨x₅) ∧ (x₁'∨x₃'∨x₅')
• 解答候補は O(2ⁿ)
• それを全部調べると時間も O(2ⁿ)
• それより早いアルゴリズムは知られてない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない

問題例 2: 独立集合

(Independent Set)

• n 個の元の集合 (グラフの頂点)
• 元と元の間に競合 (conflict) がありうる (頂点が辺で結ばれている)
• 問題: 競合がないようなできるだけ大きい部分集合を算出
• 問題の変形: k 以上の競合のない部分集合の有無
• 解答候補は O(2ⁿ)
• それを全部調べると時間も O(2ⁿ)
• それより早いアルゴリズムは知られてない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない

問題例 3: 巡回セールスマン

(Traveling Salesman)

• n 個の「町」
• 全ての町と町の間の「距離」(時間や費用でもよい)
• 問題: 全ての町に一回だけ立ち寄る一番短い (費用の少ない) 巡回
• 問題の変形: k 以下の長さ (費用) の巡回の有無
• 解答候補は O(n!)
• それを全部調べると時間も O(n!)
• それより早いアルゴリズムは知られてない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない

宿題

• 復習
• 3-SAT、独立集合、巡回セールスマンの共通点を考える
• 期末試験の準備

授業改善のための学生アンケート

お願い: できるだけ自由記述を使って、具体的に書いてください

(悪い例: 発音が分かりにくい; 良い例: さ行が濁っているかどうか分かりにくい)