データ構造とアルゴリズム

第三回 (2012年10月5日)

抽象データ型とデータ構造、スタック、キューなど

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2012/DA/lecture3.html

Martin J. Dürst

計算量の比較: 具体から抽象へ

実行時間の測定
問題: 機種依存、プログラム言語依存など
ステップの数え上げ
問題: 入力の具体的なデータに依存
最悪の場合のステップの数え上げ
問題: データの大きさに依存
漸近記号
計算量の本質を抽象化

同等な考え方はメモリの量などにも応用可能

漸近的な増加の例

(asymptotic growth)

ステップの数
`n` (データの個数)	1	10	100	1,000	10,000	100,000	1,000,000
線形探索 (+, [])	2	20	200	2000	20,000	~199,930	-
2分探索 (-, +, /, [])	5	13~17	25~31	41	53~57	65~69	77~81

ステップの数を式で表すとどうなる

線形探索: 2n; 2分探索: 4 ⌈log₂(n+1)⌉ + 2

データの個数が多くなると式のどの項が重くなるか

線形探索: 2n; 2分探索: 4 log₂n

注意点

＝`O`() の意味

f (n) = O(g (n)) と書くが、

f (n) ∈ O(g (n)) の方が意味に近い

対数の底

O(log₂ n) と O(log₁₀ n) はどう違うか

(参考: log_b a = log_c a / log_c b)

単純化

O(n^a + n^b) ∧a > b ⇒O(n^a)

O(a) ⇒

よくあるオーダー

O(n) (linear order, linear time): データの大きさに比例、全てのデータをチェック

O(log n) (logarithmic order/time), O(n log n): 二分探索など、データを小分けして処理する場合

O(n²) (quadratic order/time), O(n³) (cubic order/time): データの二つ、三つの組み合わせを考える場合

O(2ⁿ): データの全ての部分集合を検討する場合など

多項式の重要性

「有用」といわれる計算量は問題によって違う
一般的には
- 多項式時間 (polynomial time) は有用
- 指数時間 (exponential time) は現実的でない

抽象データ型

(abstract data type, ADT)

データとそれを操作する関数のセット
データは関数を使わないと操作できない
膨大なソフトウェアのモジュール化のための概念
データの完全性のための概念
例: 誕生日と年齢
型理論とつながる
オブジェクト指向による実装が多い
- 型 → クラス (class)
- 関数 → メソッド (method)

スタック

(stack)

具体例: 食堂の食膳の山
IT の例: プログラムの関数呼び出しのためのスタック
原理: last-in-first-out (LIFO)
主なメソッド: 新規作成 (new), 追加 (push), 削除 (pop)
その他のメソッド: 空かどうかのチェック (empty?)、最上のデータ項目をのぞく (top)

スタックの公理

つぎの四つの公理でスタックの定義が可能

Stack.new.empty? ↔ true
s.push(e).empty? ↔ false
s.push(e).top ↔ e
s.push(e).pop ↔ s (pop はデータではなく、スタックを返す)

(s が任意のスタック、e が任意のデータ項目)

公理は実装と使用の間の約束事

キュー

(queue)

具体例: 食堂などの待ち行列
IT の例: 実行待ちプロセスのキュー
原理: first-in-first-out (FIFO)
Explain the meaning of GIGO: Garbage in, garbage out.

ADT の比較

実装: 3ADTs.rb


ADT	スタック		キュー
実装	`Array`	`LinearList`	`Array`	`LinearList`
新規作成	`O`(`n`)	`O`(1)	`O`(`n`)	`O`(1)
項目追加	`O`(1)	`O`(1)	`O`(1) 又は `O`(`n`)	`O`(1)
項目削除	`O`(1)	`O`(1)	`O`(`n`) 又は `O`(1)	`O`(1)
`empty?`	`O`(1)	`O`(1)	`O`(1)	`O`(1)
長さ	`O`(1)	`O`(`n`)	`O`(1)	`O`(`n`)

演習: 3ADTs.rb にあるクラスを使うプログラムを作成しなさい。

キューの実装

リングバッファ (ring buffer)

線形リスト

(linear list)

辞書

(dictionary)

次回のための準備

次の関数をオーダの順にならび、その理由を付けなさい。
O(n²), O(n!), O(n log log n), O(n log n), O(20ⁿ),
順位キュー (priority queue) という ADT を実装しなさい (Ruby でも他言語でもよい)
順位キューは各要素ごとに優先度 (整数など) が付く。一番簡単な場合にデータ項目は優先度だけ。優先度の高いものが先にキューから出る。実装は配列でも連結リストでもよい。