http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2012/DA/lecture4.html
© 2008-12 Martin J. Dürst 青山学院大学
実例:
1.1n ≶ n20
log(1.1)·n ≶ log(n)·20
n/log10(n) ≶ 20/log10(1.1) ≊483.2
n0 ≊ 1541
一般的に、a, b > 1 の場合、an の漸近的な増加は nb の漸近的な増加より必ず大きい
具体例: f(n) = an + b = O(n)
O の定義: 0 ≤ f (n) ≤ cg (n) [n > n0; n0, c > 0]
an + b ≤ cn [n > n0; n0, c > 0]
可能な値: c = a + b/n0
確認: an + b ≤ (a + b/n0)n [n > n0; n0, c > 0]
an + b ≤ an + (b/n0)n [n > n0; n0 > 0]
b ≤ (b/n0)n [n > n0; n0 > 0]
1 ≤ n/n0 [n > n0; n0 > 0]
具体的な値: n0 = 1, c = a + b; n0 = 2, c = a + b/2 等
次の関数をオーダの順にならべ、理由を付けなさい。
O(n2), O(n!), O(n log log n), O(n log n), O(20n)
正解: O(n log log n), O(n log n), O(n2), O(20n), O(n!)
| f(n) | g(n) | n0 (正解例) | c (正解例) |
| n log log n | n log n | 2 | 1 |
| n log n | n2 | 2 | 1 |
| n2 | 20n | 1 | 1 |
| 20n | n! | 52 | 1 |
| 20n | n! | 20 | 2020/20! |
ヒント: Ruby に Bignum
クラスがあるため、非常に大きい数値の計算に便利
順位キュー (priority queue) という ADT を実装しなさい
(Ruby でも他言語でもよい)
順位キューは各要素ごとに優先度 (整数など) が付く。一番簡単な場合にデータ項目は優先度だけ。優先度の高いものが先にキューから出る。実装は配列でも連結リストでもよい。
正解例: 4prioQ.rb
(priority queue, 優先順位キュー、優先順位付き待ち行列)
insert (add,...): 項目の追加、getNext/delMax/...: 最優先項目の返しと削除
| 実装 | 配列 (常順) | 配列 (探索) | 連結リスト (常順) | 連結リスト (探索) |
| 新規作成 | O(1) | O(1) | O(1) | O(1) |
| 項目追加 | O(n) | O(1) | O(n) | O(1) |
| 最優先項目 | O(1) | O(n) | O(1) | O(n) |
| 項目削除 | O(1) | O(n) | O(1) | O(n) |
empty? |
O(1) | O(1) | O(1) | O(1) |
| 長さ | O(1) | O(1) | O(n) | O(n) |
実装によって操作の計算量が違うが、必ずどこかで O(n) の計算量になる
改善は可能でしょうか
木構造に基づく定義:
別の定義 (Knuth):
(heap)
⇒ ルートは常に一番優先
各操作の実現:
(英語: invariant)
ある場所で、優先度が高かすぎる可能性の場合:
heapify_up
親と比較、必要であれば交換、交換されたら親で続く
ある場所で、優先度が低くすぎる可能性の場合:
heapify_down
子と比較、必要であれば優先度の高い子と交換、交換された子で続く
実装: 4heap.rb
| 実装 | Heap (Array による実装) |
| 新規作成 | O(1) |
| 項目追加 | O(log n) |
| 最優先項目 | O(1) |
| 項目削除 | O(log n) |
empty? |
O(1) |
| 長さ | O(1) |
(heap sort)
irb の使い方irb: Interactive Ruby, Ruby
用のコマンドプロンプト
使用例:
C:\Algorithms>irb irb(main):001:0> require './4heap' => true irb(main):002:0> h = Heap.new => #<Heap:0x2833d60 @array=[nil], @size=0> irb(main):003:0> h.add 3 => #<Heap:0x2833d60 @array=[nil, 3], @size=1> irb(main):004:0> h.add(5).add(7) => #<Heap:0x2833d60 @array=[nil, 7, 3, 5], @size=3> ...