情報数学 I

第十二回: 合同算術 (2013年 1月11日)

量記号の場合の注意点:

∀x: P(x) ∧ ∀x: R(x) = ∀x: (P(x) ∧ R(x))
例: 全ての学生において、30歳以下である、かつ全ての学生において、理工学部在籍である = 全ての学生において、30歳以下かつ理工学部在籍である
∀x: P(x) ∨ ∀x: R(x) → ∀x: (P(x) ∨ R(x))
左から右への例: 全ての学生において、30歳以上である、又は全ての学生において、理工学部在籍である → 全ての学生において、30歳以上又は理工学部在籍である
右から左への反例: 全ての学生において、男性である又は女性である
しかし、全ての学生が男性である、又は全ての学生が女性であるが偽
∃x: P(x) ∨ ∃x: R(x) = ∃x: (P(x) ∨ R(x))
例: ある学生において、東京都出身である、又はある学生において神奈川県出身である = ある学生において、東京都出身である又は神奈川県出身である
∃x: P(x) ∧ ∃x: R(x) ← ∃x: (P(x) ∧ R(x))
右から左への例: ある学生において、広島県出身であるかつ女性である → ある学生において、広島県出身である、かつある学生において、女性である
左から右へな反例: ある学生において、北海道出身であるかつある学生において女性である
ある学生において北海道出身であるかつ女性であるとは限らない

(modular arithmetic)

1801 年にガウス (Gauss) によって発表
全集合は ℤ (整数)
合同式 (congruence (equation)):
a ≡_{(mod n)} b ⇔ a - b = qn ⇔ a = q₁n + r ∧ b = q₂n + r ∧ 0 ≦ r < n
n は法 (modulus)と呼ぶ
r は剰余 (residue)
a ≡_{(mod n)} b は a ≡ b (mod n) 又は a ≡ b (modulo n) 又は a ≡_n b とも書く

Output some data items, three items on a line.

A simple way:

int items = 0;
for (i=0; i<length; i++) {
    /* print out */
    items++;
    if (items==3) {
        printf("\n");
        items = 0;
    }
}

Using the modulo operation:

for (i=0; i<length; i++) {
    /* print out */
    if (i%3 == 2)  printf("\n");
}

Reason: a ≡_{(mod n)} a mod n, and so on

Example: 2¹⁶ mod 29 = ?

2¹⁶ = 2⁵ · 2⁵ · 2⁵ · 2

2¹⁶ = 2⁵ · 2⁵ · 2⁵ · 2 = 32 · 32 · 32 · 2 ≡_{(mod 29)} 3 · 3 · 3 · 2 = 54 ≡_(mod
29) 25

数字和 (digit sum): それぞれのけたの数字の合計

数字根 (digit root): 数字和を一桁になるまでに繰り返す

十進法での応用例: 1839275 の数字和は 1+8+3+9+2+7+5 = 35; 35 の数字和は 3+5 = 8; 1839275 の数字根は 8

十六進法の例: A8FB の数字和は A+8+F+B (10+8+15+11) = (44) 2C; 2C の数字和は 2+C (2+12) = (14) E; A3FB の数字根は E

(casting out nines)

n 進法の数字根は n-1 で割ったときの剰余と同じ
元の演算が合ったら、数字根での演算は当然合う
数字根での演算では演算の間違えの一部が確認可能 (演算の正確さの確認は不可能)
応用例: 次の二つの計算のうち、一つだけ正しいが、どちらでしょうか:
2485938 · 4962483 = 12336425064054
2354987 · 2498472 = 5883469079864

お願い: 自由記述をできるだけ使って、具体的に書いてください

(例: 「英語をやめてほしい」のではなく、「日本語の部分で出てくる用語も Glossary に含めてほしい」など)