情報数学 I

第十四回: 残り・復習（2013年1月18日）

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2012/Math1/lecture14.html

今日の予定

これからの予定
数学的帰納法 (続き)
復習
これからの展望

これからの予定

1月25日(金曜日2限、11:10-12:35): 期末試験

前回の演習問題

削除

Proving Associativity of Addition
from Peano Axioms

The axioms of addition:

a + 1 = s(a)
If a and b are natural numbers, then a + s(b) = s(a + b)

The law of associativity for addition: (c + d) + e = c + (d + e)

Basis step: For e = 1, (c + d) + 1 = s(c + d) = c + s(d) = c + (d + 1)

Inductive step:

For e = k, we assume (c + d) + k = c + (d + k)

We have to prove associativity for e = k+1, i.e., (c + d) + (k+1) = c + (d + (k+1))

(c + d) + (k+1) = (c + d) + s(k) = s((c + d) + k) = s(c + (d + k)) = c + s(d + k) = c + ((d + k) + 1) = c + (d + (k+1))
Q.E.D.

数学的帰納法の応用例

次の式を考えよう:

1 = 1

3 + 5 = 8

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 + 19 = 64

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125

この式に秘めている法則を仮説として明確にし、数学的帰納法で証明して下さい。

仮説

右辺は明らかに n³

左辺は全部奇数で、順番通り、奇数の数は n

仮説は次の通り: 最小の 1個の奇数の合計は 1³ で、その次々の n個の奇数の合計が n³

証明は二段階で行い、いずれも数学的帰納法を使う

一段階目の帰納法

ある合計の最小の奇数が n²-n+1 であることを帰納法で証明

基底: n=1 の場合、 n²-n+1 = 1 なので明らか

帰納:

ある k≥1 の場合、合計の最小の奇数は k²-k+1 であることを仮定し、m=k+1 の場合、合計の最小の奇数が m²-m+1 であることを証明する必要がある

奇数と奇数の差は常に 2 で、k 行目には k個の奇数がある

k 行の最小の奇数から最大の奇数までの差が 2(k-1) で、k 行目の最小の奇数からm 行目の最小の奇数の差が 2k

よって、k²-k+1 + 2k = m²-m+1 を証明できればよい

m²-m+1 = (k+1)²-(k+1)+1 = k²+2k+1 - k-1 + 1 = k²-k+1+ 2k で証明済み

二段階目の帰納法

n²-n+1 という奇数を始め n個の奇数の合計は n³ であることを証明

基底: n=1 の場合奇数の数が 1個なので、n²-n+1 = n³ が n=1 の場合に明らか

帰納:

ある k≥1 の場合、k²-k+1 で始まる k 個の奇数の合計が k³ であることを仮定し、m=k+1 の場合、m²-m+1 で始まる m 個の奇数の合計が m³ であることを証明

k 行目の合計と m 行目の合計の差は、最初の k 個のそれぞれの差と最後の m 行目にしかない奇数からなる

m 行目の最後の奇数は m+1 行目の最初の奇数 -2 で、すなわち (m+1)²-(m+1)+1 - 2 である

最初の k 個のそれぞれの差は k回行の最初の奇数の差、すなわち k((m²-m+1)-(k²-k+1)) である

よって、差の合計は k((m²-m+1)-(k²-k+1)) + (m+1)²-(m+1)+1 - 2 である

これが m³ - k³ であることが証明できればよい

k((m²-m+1)-(k²-k+1)) + (m+1)²-(m+1)+1 - 2 =

k(((k+1)²-(k+1)+1)-(k²-k+1)) + ((k+1)+1)²-((k+1)+1)+1 - 2 =

k((k²+2k+1-k)-k²+k-1) + (k+2)²-k-3 = 2k² + k²+4k+4-k-3 = 3k² + 3k + 1 (1)

m³ - k³ = (k+1)³ - k³ = k³+3k²+3k+1 - k³ = 3k²+3k+1 (2)

(1) と (2) が同じなので、k行目とm行目の左辺の差と右辺の差が同じなので、証明が成立

構造的帰納法の例

仮説: 二分木 (binary tree) の場合、節 (node) の数が n で、葉 (leaf) の数が l の場合、n = 2l-1
二分木の定義: 次の条件を満たす有向グラフ:
- グラフに閉路がない
- 節 a から節 b への矢印が有れば、a を b の親、b を a の子と呼ぶ
- 「根」(root) と呼ばれる節以外、全ての節に親がある
- 節は2種類に分けられる:
  - 「葉」と呼ばれる子のない節
  - 子を2個持つ内部節 (internal node)

証明

根だけの非常に小さい木から少しずつ伸ばせば、どんな形の二分木でも作れる。伸ばし方の一歩として、ある葉の代わり二つの新しい葉が伸びる内部節にする方法を取る。

基底: 根だけの木の場合に、節の数が 1 で、葉の数も 1 なので n = 2l-1 が明らか。

帰納: 伸びる前の節の数を n, 葉の数を l、一歩伸びる後の節の数を n', 葉の数を l' にすると、次のことを証明しないといけない: n = 2l-1 → n' = 2l'-1

一歩伸びると節の数が n から n+2 に増え、葉の数が2個増えるが一個減るので、n'=n+2 かつ l'=l+2-1=l+1 が分かる。

以上の n = 2l-1 (1), n'=n+2 (2), l'=l+2-1=l+1 (3) の三つの式から n' を l' で表す式を求める:

(2) に (1) を適用: n' = 2l-1+2 = 2l+1 (4)

(3) の書き換え: l'-1 = l (5)

(4) に (5) を適用: n' = 2(l'-1) + 1 = 2l'-2+1 = 2l'-1

よって、帰納のステップが証明できましたので、証明が完成。

展望

情報数学 II: 情報理論、グラフ理論など (二年前期)

データ構造とアルゴリズム (二年後期)

言語理論とコンパイラ (三年)

復習

質問、疑問などなんでも結構

Glossary

natural number: 自然数