http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2012/Math1/lecture5.html
© 2005-12 Martin J. Dürst 青山学院大学
5. Explain the reason behind the formula in problem 4.
「問 3 により」とか、問 3のデータと式だけを繰り返したものだけでは答えになってない。
削除
nCm = n!/ (m!·(n-m)!) を直感的に分かろう!
順列 (permutation): n 個の違うものから m 個を順番を考慮して選択するのはなん通り?
nPm = n·(n-1)·(n-2)·...·(n-m+2)·(n-m+1) = ∏ni=n-m+1 i = n! / (n-m)!
nCm は nPm から計算可能: 要素が同じで順番が違う数で割る
nCm = nPm / mPm = n! / (n-m)! / (m!/(m-m)!) = n! / (m!(n-m)!)
| disjunction | conjunction | negation | ||
| or | and | not | ||
| precedence | low | middle | high | |
| A | B | A ∨ B | A ∧ B | ¬B |
|---|---|---|---|---|
| F | F | F | F | T |
| F | T | T | F | F |
| T | F | T | F | |
| T | T | T | T | |
(A ∨ ¬B) ∧ B = (A ∨ B) ∧ (¬B ∨ B) = (A ∨ B) ∧ T = A ∨ B
¬(A ∨ ¬B) = ¬A ∧ ¬¬B = ¬A ∧ B
Application: Proof of absorption law from other laws
A ∧ (A ∨ B) = (A∨F) ∧ (A∨B) = A ∨ F∧B = A ∨ F = A
When looking at the laws of logical operations, we see the following:
If we exchange all instances of ∧ and ∨, and T and F, we get another law.
Examples:
T ∧ A = A; dual: F ∨
A = A
(¬A∨B) ∧ C =
C∧¬A ∨ B∧C; dual: ¬A∧B ∨ C =
(C∧¬A) ∧ (B∧C)
This is true in general. It can be proved using the truth tables for ∧ and ∨.
This is called the duality principle.
It is very useful for remembering the laws of logical operations.
Assume we are given a truth table (boolean function) such as the following:
| A | B | C | ? |
| F | F | F | F |
| F | F | T | T |
| F | T | F | F |
| F | T | T | T |
| T | F | F | T |
| T | F | T | F |
| T | T | F | T |
| T | T | T | F |
Can you find a logical formula corresponding to this truth table?
Is there a way to find a logical formular for every truth table (boolean function)?
加法標準形 (選言標準形、disjunctive normal form): 変数の (否定の) 積の和
乗法標準形 (連言標準形、conjunctive normal form): 変数の (否定の) 和の積
標準形の性質:
加法標準形の場合 [乗法標準形の場合は [] 内 (双対原理使用)]
式が正しい理由:
| A | B | C | ? | 加法標準形の項 | 乗法標準形の項 |
| F | F | F | T | ¬A ∧ ¬B ∧ ¬C | |
| F | F | T | T | ¬A ∧ ¬B ∧ C | |
| F | T | F | F | - | A ∨ ¬B ∨ C |
| F | T | T | F | - | A ∨ ¬B ∨ ¬C |
| T | F | F | F | - | ¬A ∨ B ∨ C |
| T | F | T | T | A ∧ ¬B ∧ C | |
| T | T | F | F | - | ¬A ∨ ¬B ∨ C |
| T | T | T | T | A ∧ B ∧ C |
加法標準形: ¬A∧¬B∧¬C ∨ ¬A∧¬B∧C ∨ A∧¬B∧C ∨ A∧B∧C
乗法標準形: (A∨¬B∨C) ∧ (A∨¬B∨¬C) ∧ (¬A∨B∨C) ∧ (¬A∨¬B∨C)
二つは基本的に同じが、使う｢道具」(式、図) が違う。
カルノー図表は標準形の構造 ((否定) の積の和等) を保持
違う構造でもっと単純化できる例も存在
例: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ⇒ A∧C∧ (B ∨ ¬B) ⇒ A∧C
以前のスライドの式全体: A∧B∧C ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧C ∨ ¬A∧¬B∧¬C ⇒ A∧C ∨ ¬A∧¬B
注意: 複数の単純化の道で、(式の構成が) 異なる結果が可能
| A=F B=F |
A=T B=F |
A=T B=T |
A=F B=T |
|
|---|---|---|---|---|
| C=F D=F |
T | T | F | T |
| C=T D=F |
F | T | T | F |
| C=T D=T |
F | T | T | F |
| C=F D=T |
F | F | F | T |
提出: 再来週の木曜日 (11月 1日)、22:00 (厳守)、Moodle
にて。形式はプレーンテキスト。ファイル名は
solution5_xxxxxxxx.txt (例,
メモ帳など; xxxxxxxx は八桁の学籍番号)
| A = F B = F |
A
= F B = T |
A
= T B = F |
A
= T B = T |
簡単な式 |
| F | F | F | F | F |
| F | F | F | T | A ∧ B |
| F | F | T | F | ? |
| ? | ? | ? | ? | ? |
| A | B | A ∧ B |
| F | F | F |
| F | T | F |
| T | F | F |
| T | T | T |
On Moodle, solve the quiz Propositions: True or False
Repeat until you get all answers right!
Open from October 20 (Saturday), 08:00
Deadline: November 8 (Thursday), 20:00
来週 (10月26日) は海外出張のために休講
再来週の木曜日 (11月 1日) 22:00: 宿題 1 の提出締切
再来週 (11月 2日) は青山祭のためお休み
再々来週の木曜日 (11月 8日) 20:00: 宿題 2 の締切
次の授業は 11月 9日 (金)