データ構造とアルゴリズム

第十四回 (2014年 1月17日)

NP-完全性、帰着可能性

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2013/DA/lecture14.html

Martin J. Dürst

© 2010-14 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• これからの予定
• 前回の残りと復習
• NP-完全性、帰着可能性
• 授業改善のための学生アンケート

これからの予定

• 1月24日 (金): 15回目の授業
• 1月31日(金) 9:30~10:55: 期末試験

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今回の目的

• 「簡単な問題」とそうでない問題を見分ける
• 視野の拡大、アルゴリズムの「宇宙」の展望

前回の問題例

• 問題例 1: 3-SAT
• 問題例 2: 独立集合
• 問題例 3: 巡回セールスマン

前回の問題例の共通点

• 具体的な応用が多数存在
• 総当たり法より根本的に良いアルゴリズムが未知
• 総当たり法で解こうとすると指数的時間 (exponential time) が必要
• n が大きい場合 (例: 100)、事実上解けない
• 早いアルゴリズムが無いことも現在証明できない
• 同じ共通点を持つ問題が多数存在

多項式時間と指数的時間

• 多項式問題は「手に負える問題」(tractable)
• 指数的問題は「手に負えない問題」(intractable)

多項式時間の特徴

• 指数が大きい問題 (例: O(n⁵)) は殆どない
• 多項式の加算と乗算はまた多項式
• 多項式時間は計算機のモデルの選択にそれほど左右されない
  例: 並列処理で計算機の数が c の場合、改善は最大で ·1/c
• 多項式時間の問題を一部別扱いしたい場合に、分岐点の選択が困難
• 多項式時間で解ける問題の集合を P と書く

NP 問題

• 前回の問題例 1-3 の変形は全て NP 問題
• NP 問題の特徴:
  答えが真の場合、証拠があればすぐ (多項式時間で) 確認可能
  逆に答えが偽の場合、確認に指数時間が必要
• NP の由来:
  Nondeterministic Polynomial Time (非決定性多項式時間)
  同時に何台も計算機が使えれば多項式時間で解ける
  (「何台も」は並列処理と違って、一定数のではなく、「いくらでも」の意味)
• P の問題は場合によって微妙な変更で NP になる
  例: グラフ内の二頂点間の一番短い経路と一番長い経路
• NP 問題は数多く存在
• P ⊆ NP
• P = NP ? P ≠ NP ?
  情報テクノロジー内のもっとも有名な未解決問題
  Clay Mathematics Institute Millenium Problem の一つ

問題の種類

• 関数問題 (function problem)
  答えが一つしかない
  例: 順列、行列の掛算、フィボナッチ関数など
• 最適化問題 (optimization problem)
  最大、最速、最短など、又は
  できるだけ大きい、できるだけ短いなど
• 決定問題 (decision problem)

決定問題

(decision problem)

• 結果は真か偽しかない問題
• 他の問題の「置き換え」ができる
  最適化問題: k 以上 (や以下) で可能かどうか
• 決定問題が元の問題より複雑になる可能性がない
• 決定問題が理論的に扱いやすい
• NP 問題は定義上決定問題
• NP 問題に置き換えられる問題は「NP 困難」(NP-hard) という

NP 内の問題の比較

• NP 内を整理
• 問題の比較

帰着

(reduction)

• 概要: ある問題 A を別の問題 B に置き換えて解く
  (解けることを証明する)
• A の入力 ⇒ (変換) ⇒ B のアルゴリズム ⇒ (変換) ⇒ A の出力
• 変換は両方とも多項式時間で実行
• A が B に帰着可能の場合、A ≤_P B と書く
• 即ち、A が B より (多項式時間の変換内で) 簡単か同じ難しさ
• 実例: 3-SAT を独立集合に帰着

NP 完全性

(NP-Completeness)

• 全ての NP 問題を帰着できる NP 問題は NP 完全問題という
• 殆どの NP 問題は NP 完全であるが、そうではない問題もありそう

計算複雑性理論

(computational complexity theory)

• 目的: 計算問題の根本的な分類
• 分類の要素:
  • 計算量 (時間)
  • メモリ量
  • 回路の形
  • 並列処理など

参考: Complexity Zoo

ポストの対応問題

(Post's correspondence problem; Emil Post, 1946)

• 二つ以上の文字を使う言語で、二つの単語集 W = {w₁, w₂, ... w_n} と V = {v₁, v₂, ... v_n} が与えられている
• 問題: W の単語と V の単語を同じように選んだ場合、同じ文が作れるかどうか (単語の重複可)
• 可能な例: W = {aa, b}, V = {a, aba}
  正解例: aa-b-aa = a-aba-a
• 不可能な例: W = {ccd, cd, c}, V = {cc, ddc, d}
  (理由: どの単語をとっても、文の最後の文字が必ず違う)
• この問題を一般的に解くアルゴリズムが存在しない
• 存在しないことの証明はある

まとめ

• 多項式時間で (いまだに) 解けない問題が存在
• その多くは NP 完全 (又は NP 困難) 問題
• 難しい問題を早めに見分けるのが大事
• NP 完全の問題より解きにくい問題もある

授業改善のための学生アンケート

お願い: できるだけ自由記述を使って、具体的に書いてください

(悪い例: 発音が分かりにくい; 良い例: さ行が濁っているかどうか分かりにくい)