データ構造とアルゴリズム

第十五回 (2014年1月24日)

近似アルゴリズム

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2013/DA/lecture15.html

Martin J. Dürst

© 2010-14 Martin J. Dürst 青山学院大学

目次

• 前回の復習
• NP 問題への対策
• 近似アルゴリズム
• これからの予定

これからの予定

• 1月31日(金) 9:30~10:55: 期末試験

NP 問題への対応

• NP 完全問題や NP 困難の問題は多い
• 実用的な問題が多い
• 効率的なアルゴリズムは知られてない
• 実用的な対策が必要

NP 問題への対策

• 問題の変更・限定
• 実用的なデータへの対応
• 近似アルゴリズムの設計・使用

一般的な方法もあるが、ある問題に特化したものが多い

NP 問題の変更

具体例: 巡回セールスマン問題

• コストが平面上の直線の距離
• コストが三角不等式 (AB + BC ≤ AC) を満たすなど
  (最適解の 1.5 倍以内の多項式時間のアルゴリズムが存在)
  

実用的なデータへの対応

具体例: 3SAT

• 変数の数に比べて式が長い
  → 解が存在しないことを見せるのは簡単
  (例: (x_a∨x_b∨x_c) ∧ (x_a'∨x_b'∨x_c'))
• 変数の数に比べて式が短い
  → 解を見つけることが簡単
• 変数の数に比べて式が中間の長さ
  → 本当に難しい

細かい調整などで現実的な使用が可能

一年おきの大会: http://www.satcompetition.org

近似アルゴリズム

• 完璧な解がなくてもそれに近いものが欲しい
• 多くの近似アルゴリズムでは
  「最適解の何倍以内」が保証可能
• 問題に特化した近似アルゴリズム
• 一般的な近似方法
  • シミュレーテッドアニーリング
  • 遺伝的アルゴリズム
  • など

問題に特化した近似アルゴリズム

具体例: ロード・バランシング
複数の t_i の時間がかかる仕事をm 個の機械でできるだけ早く終わらせる

• アルゴリズム 1:
  • 仕事を順番に
    一番まだ仕事が少ない機械に配置
  • 合計時間は最適解の二倍以内
• アルゴリズム 2:
  • 仕事を大きい順に
    一番まだ仕事が少ない機械に配置
  • 合計時間は最適解の 1.5倍以内

シミュレーテッドアニーリング

(simulated annealing, 焼き鈍し法)

• 名前の由来:
  温度を少しずつ下げながら結晶を創出
• ある解から出発
• 乱数を使って解を変更し、新しい解の候補を作成
• 変更を少しずつ小さくする (温度を下げる)
• 現在より最適な解を保持
• 悪化した解も一部保持
• 一定時間後や解の改善が見られ樂なった時点で終了
  
• 一番良い解を出力

遺伝的アルゴリズム

(genetic algorithm)

• 解を遺伝的情報に例える
• 乱数で作った複数の解から出発
• 次世代の解の作成:
  
  • 二つ (以上) の解からの情報の組み合わせ (有性生殖に相当)
    
  • 解内の情報の交換 (交叉 (組み替え) に相当)
  • 乱数による解の変換 (突然変異に相当)
• 各世代で新解を多数作成、
  一部乱数を交えて削減 (自然淘汰に相当)
• 一定時間後や解の改善が見られ樂なった時点で終了
  
• 一番良い解を出力

まとめ

完璧に解けない「手におえない」問題で有効:

• 問題の変更・制限
• 実際のデータへの注目
• 近似解の算出
  • 問題に特化した方法
  • シミュレーテッドアニーリング
  • 遺伝的アルゴリズム、など

これからの予定

• 三年前期: 言語理論とコンパイラ
• 四年: 卒業研究 (デモ)
• 1月31日(金) 9:30~10:55: 期末試験