データ構造とアルゴリズム

第四回 (2013年10月18日)

抽象データ型とデータ構造、スタック、キューなど

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2013/DA/lecture4.html

Martin J. Dürst

© 2009-13 Martin J. Dürst 青山学院大学

目次

• 前回の残り、まとめ、宿題
• 多項式の重要性
• アルゴリズムの漸近的計算量の求め方
• 漸化式
• 抽象データ型
  • スタック
  • キュー
  • 辞書

前回の残りとまとめ

前回の宿題

(提出不要)

ウェブなどで O(1), O(log n), O(n), O(n log n), O(n²), O(n³), O(2ⁿ), O(n!) のアルゴリズムを探す

よくあるオーダー

O(n) (linear order, linear time): データの大きさに比例、全てのデータをチェック

O(log n) (logarithmic order/time), O(n log n): 二分探索など、データを小分けして処理する場合

O(n²) (quadratic order/time), O(n³) (cubic order/time): データの二つ、三つの組み合わせを考える場合

O(2ⁿ): データの全ての部分集合を検討する場合など

O(n!): データの全ての順番を検討する場合など

多項式増加と指数的増加の比較

実例:

1.1ⁿ ≶ n²⁰

log(1.1)·n ≶ log(n)·20

n/log₁₀(n) ≶ 20/log₁₀(1.1) ≊483.2

n₀ ≊ 1541

一般的に、a, b > 1 の場合、aⁿ の漸近的な増加は n^b の漸近的な増加より必ず大きい

多項式の重要性

• 「有用」といわれる計算量は問題によって違う
• 一般的には
  • 多項式時間 (polynomial time) は有用
  • 指数時間 (exponential time) は現実的でない

アルゴリズムの漸近的計算量の求め方

• 入力の大きさの変数 (n など) の決定
• アルゴリズム内の一番多く実行される操作の特定
• 操作の数の算出 (総和または漸化式)
• 操作の数から漸近的計算量の算出

入力の大きさの変数の決定

• 多くの場合、データの項目の数 (例: 探索、整列)
• 行列などの場合、幅や高さ (n × n や n × m の行列)
• 一データ項目の大きさ (例: 非固定長整数の演算)

一番多く実行される操作の特定

• ループ (特に多重ループ) 内の操作が多い
• 複数の独立したループなどの場合、別々に調査
• 実行される操作の数が入力の具体値に依存の場合、最悪のケースで調査 (最善や平均もあり)
• 操作が関数呼び出しの場合、その関数の中身も考慮

操作の数の算出 (総和)

• 具体例:

  for (i=0; i<n; i++)
      for (j=i; j<n; j++)
          sum += i*j;

• 一番多い操作: 足し算または掛算 (どちらでもよい)
• 操作の数を総和で表現:
  ∑_i=0^n-1 ∑_j=i^n-1 1
• 総和の評価:
  ∑_i=0^n-1 ∑_j=i^n-1 1 = ∑_i=0^n-1 n-i = n + n-1 + n-2 + ... + 2 + 1 = n · (n+1) / 2
• 漸近的計算量:
  n · (n+1) / 2 = n²/2 + n/2 = O(n²)

操作の数の算出 (漸化式)

• 具体例:
  

  binsort(array, low, high, key)
    middle = (high+low)/2
    if low==high
      if array[low]==key
        return low
      else
        return nil
    elsif key>array[middle]
      return binsort(array, middle+1, high, key)
    else
      return binsort(array, low, middle, key)
  

• 操作の数を漸化式で表現:
  B(n) = B(⌈n/2⌉) + 1
  B(1) = 1

漸化式

(recurrence 又は recurrence relation)

• (プログラムの) 再帰的関数と同様に定義されている数学的関数
• 解くには様々な方法が必要
• 繰り返しの置き換えでパターンの発見:
  B(n) = B(⌈n/2⌉) + 1 = B(⌈⌈n/2⌉/2⌉) + 1 + 1 = B(⌈n/2²⌉) + 2 =
  = B(⌈n/2³⌉) + 3 = B(⌈n/2^k⌉) + k
  
• B(1) = 1 を利用:
  ⌈n/2^k⌉ = 1 ⇒ 1 ≥ n/2^k (>1/2) ⇒ 2^k ≥ n (> 2^k-1) ⇒ k ≥ log₂ n (> k-1) ⇒ k = ⌈log₂ n⌉
• B(n) = 1 + ⌈log₂ n⌉
• 漸近的計算量: O(log n)

抽象データ型

(abstract data type, ADT)

• データとそれを操作する関数のセット
• データは関数以外で操作不可能 (カプセル化)
• データの完全性のための概念
  例: 生年月日と年齢
• 膨大なソフトウェアのモジュール化のための概念
• 型理論と連結
• オブジェクト指向による実装が多い
  • 型 → クラス (class)
  • 関数 → メソッド (method)

抽象データ型の典型例

• スタック
• キュー
• 線形リスト
• 辞書
• 順位キュー

スタック

(stack)

具体例

食堂の食膳の山

IT の例

プログラムの関数呼び出しのためのスタック

原理

last-in-first-out (LIFO)

主なメソッド

新規作成 (new), 追加 (push), 削除 (pop)

その他のメソッド

空かどうかのチェック (empty?)、最上のデータ項目をのぞく (top)

スタックの公理

つぎの四つの公理でスタックの定義が可能

1. Stack.new.empty? ↔ true
2. s.push(e).empty? ↔ false
3. s.push(e).top ↔ e
4. s.push(e).pop ↔ s (pop はデータではなく、スタックを返す場合)

(s が任意のスタック、e が任意のデータ項目)

公理は実装側と使用側の間の約束事

キュー

(queue、待ち行列)

具体例

食堂などの待ち行列

IT の例

実行待ちプロセスのキュー

原理

first-in-first-out (FIFO)

Explain the meaning of GIGO: Garbage in, garbage out.

ADT の比較

実装: 4ADTs.rb

宿題 (提出なし): 4ADTs.rb にあるクラスを使うプログラムを作成しなさい。

キューの実装

リングバッファ (ring buffer)

＠＠＠

次回のための準備

1. 次の関数をオーダの順にならび、その理由を付けなさい。

   O(n²), O(n!), O(n log log n), O(n log n), O(20ⁿ),

2. 4ADTs.rb にあるクラスを使うプログラムを作成しなさい。
3. 順位キュー (priority queue) という ADT を実装しなさい (Ruby でも他言語でもよい)

   順位キューは各要素ごとに優先度 (整数など) が付く。一番簡単な場合にデータ項目は優先度だけ。優先度の高いものが先にキューから出る。実装は配列でも連結リストでもよい。