データ構造とアルゴリズム

第八回 (2013年11月22日)

辞書とその実装: 二分木など

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2013/DA/lecture8.html

Martin J. Dürst

© 2009-13 Martin J. Dürst 青山学院大学

目次

• 前回の残り・まとめ
• O(n log n) より早い整列法
• 辞書
• 二分木とその辿り方
• 二分探索木
• 平衡木

前回の残り

• C や Ruby での整列

前回のまとめ

• クイックソートは効率のよい整列法
• 最悪の場合に O(n²); 平均で O(n log n)
• 分割要素の選択など実装で注意点が多い
• 実装例: 7qsort.rb
• 様々な整列法のアニメーション: sort.svg

レポートについて

「失敗」の例:

[都合により削除]

O(n log n) より早い整列法

• 今までの整列法は値の任意な分布に対応
• 比較の決定木で最低 O(n log n)
• 値の分布について前知識がある場合、改善可能
• 極端な例: 1 から n までの数の整理
  →最終的な場所が完全に予想可能
  →O(n)
• 基数整列 (radix sort)、
  ビンソート (bin sort, bucket sort) など

ビンソート

例: 学生番号で整列

• 最上位の桁で 10 の山に分割
• 各々の山を再帰的に順に下位の桁で分割
• 山の大きさに対応するため、分割を二つのフェーズで実行
  1. 各々の山の大きさを計算
  2. 要素の再配置
• 計算量は O(n k) (k は桁の数)

基数整列

• 最下位の桁から
• 上位の桁で分割する必要がない
• 安定な整列法が必要
• 計算量は O(n k) (k は桁の数)

辞書の抽象データ型

(dictionary; 注: 実際の辞書とは違う)

• データ項目ごと
  • キー (key): 項目の特定のため、探索に使用
  • 値 (value): キー以外の項目ごとの情報、無しも可
• 操作
  • 挿入 (insert)
  • 削除 (delete)
  • 探索 (search/find)

辞書の簡単な実装

• 整列済の配列: 探索は二分探索で O(log n)、挿入・削除は O(n)
• 未整列の配列、連結リスト: 探索は O(n)
• 挿入・削除・探索を全て O(log n) 以内で実装したい
  • 二分木
  • 平衡木
  • ハッシュ法

二分木

• グラフ (graph): 頂点 (ノード、node) と辺 (edge) からなる
• 木 (tree): 根 (root) は親 (parent) が無いが、他の頂点が全て一つの親とつながっている
• 二分木 (binary tree): 各頂点に子 (child) が最大 2 個

二分木の辿り方

• 深さ優先 (depth first)
  • 行きがけ順 (preorder)
  • 通りがけ順 (inorder)
  • 帰りがけ順 (postorder)
• 幅優先 (breadth first)

二分探索木

• 各頂点にデータ項目を一つ配置
• 任意の頂点のキーが k の場合
  • 左の部分木のキーが k より小さい
  • 右の部分木のキーが k より大きい
• 同等なキーが複数ある場合の扱いは実装依存

探索木での探索

• 根から探索を開始
• 現在の頂点のキーと比べ探索のキーが
  • 同じ: 頂点のデータ項目を返す
  • 小さい: 左の部分木を探索
  • 大きい: 右の部分木を探索
  • 空の頂点: 探索終了

探索木への挿入

• 根から挿入を開始
• 現在の頂点のキーより挿入のキーが
  • 小さい: 左の部分木に挿入
  • 大きい: 右の部分木に挿入
  • 空の頂点: 挿入の頂点に置換 (その子は空の頂点)
  • 同じ: 挿入打ち切り、右の部分木に挿入、など

探索木からの削除

• 削除したい頂点を発見 (探索参照)
• 削除したい頂点に (真の) 子が
  • ない: そのまま削除
  • 一個だけ: それと置換
  • 二個: 右の部分木の一番小さいキーの頂点と置換

探索木の実装

• 子が無い場所、特殊なノード (NilNode) を全てのノードで共有
• Ruby での実装: 8bintree.rb

単純な探索木の評価

• 木全体の高さで操作の計算時間が決まる
• 最善の高さが O(log n)
• 最悪の高さが O(n)
• 平均の高さが O(log n)

平衡木

(balanced tree)

• 一般の探索木は最悪、連結リストの形を同等
• 挿入・削除の順番が決まっているため、
  (クイックソートのように) 乱数などで分割項目を決めることは不可能
• 完全二分木の場合、追加・削除の手間が課題

解決策: 完全ではないがある程度平衡性を保つ木

トップダウン 2-3-4 木

(top-down 2-3-4 tree)

• 各ノードの子数は 2、3 または 4
• 子数が k の場合、ノードに k-1 のキーとデータ項目を保持
  (子数が全て 2 の場合、二分探索木と同等)
• ノード内のデータ項目のキーは部分木の分岐点
• 木の高さは一定
• 一番下の層には子がない (実装上、全部同一の空のノード)

次回への宿題

(提出無し)

• データ項目が n の場合の最低と最大の木の深さを考える
• 2-3-4 木の追加の操作を複数の例を使って考えて、アルゴリズムを提案