情報数学 I

第十三回 (2014年 1月14日)

述語論理の応用
Applications of Predicate Logic

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2013/Math1/lecture13.html

© 2005-14 Martin J. Dürst 青山学院大学

これからの予定

• 1月17日 (金): 14回目の授業
• 1月24日 (金): 15回目の授業
• 1月31日 (金) 11:10～12:35: 期末試験

前回のミニテストについて

• 平均の点数は残念ながら極めて低い
• 問題三だけは平均が高いが、
  無作為に記入した場合でも点が取れるのが原因
• 返却は今日の授業終了後又は O棟
• 場所: O棟 529号室の前の机
  学生番号ごとに封筒にて
• 注意事項:
  • 整理整頓
  • 自分以外の宿題は一切持ち帰り禁止

前回の復習

• 記号論理の種類: 命題論理、述語論理など
• 述語は命題と違って、引数を取る
• 述語では命題より一般的な記述、推論が可能
• 全称限量子 (∀) と存在限量子 (∃)

量記号の復習

量記号の場合の注意点:

• 全集合の把握
• 書き方 (コロン、括弧など)
• 使用する述語の定義
• 自由変数の存在

述語論理式と量記号の性質

1. ¬∀x: P(x) = ∃x: ¬P(x)
2. ¬∃x: P(x) = ∀x: ¬P(x)
3. (∀x: P(x)) → (∃x: P(x))
4. (∀x: P(x)) ∧ Q(y) = ∀x: P(x)∧Q(y)
5. (∃x: P(x)) ∧ Q(y) = ∃x: P(x)∧Q(y)
6. (∀x: P(x)) ∨ Q(y) = ∀x: (P(x)∨Q(y)
7. (∃x: P(x)) ∨ Q(y) = ∃x: P(x)∨Q(y)
8. (∀x: P(x)) ∧ (∀x: R(x)) = ∀x: P(x)∧R(x)
9. ((∀x: P(x)) ∨ (∀x: R(x))) → (∀x: P(x)∨R(x))
10. (∃x: P(x)) ∨ (∃x: R(x)) = ∃x: P(x)∨R(x)
11. ((∃x: P(x)) ∧ (∃x: R(x))) ← (∃x: P(x)∧R(x))
12. (∃y: ∀x: P(x, y)) → (∀x: ∃y: P(x, y))
13. P(x) が恒真 ↔∀x: P(x) が恒真

総和・総積と量記号の関係

総和: ∑^∞_i=1 1/i² = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...

総積: ∏^∞_i=1 1+1/(-2)ⁱ = ...

全称限量化: (∀i ∈ℕ⁺: i>0) = ⋀^∞_i=0 i>0 = 1>0 ∧2>0 ∧3>0 ∧...

存在限量化: (∃i ∈ℕ⁺: odd(i)) = ⋁^∞_i=0 odd(i) = odd(1)∨odd(2)∨odd(3)∨...

ド・モルガンの法則の拡張

• ¬∀x: P(x) = ∃x: ¬P(x)
  ¬(P(x₁)∧P(x₂)∧P(x₃)∧P(x₄)∧...) =
  = (¬P(x₁)∨¬P(x₂)∨¬P(x₃)∨¬P(x₄)∨...)
• ¬∃x: P(x) = ∀x: ¬P(x)
  ¬(P(x₁)∨P(x₂)∨P(x₃)∨P(x₄)∨...) =
  = (¬P(x₁)∧¬P(x₂)∧¬P(x₃)∧¬P(x₄)∧...)

量記号の組み合わせ

(∃y: ∀x: P(x, y)) → (∀x: ∃y: P(x, y))

(∀x: ∃y: P(x, y)) ↛ (∃y: ∀x: P(x, y))

素数 (prime number) の数が無限である:

(すなわち、いくら大きい x を選んでも、それより大きい素数 y が存在する)

∀x: ∃y: (y > x ∧ prime (y))

順番を入れ替えると意味が変わる:

∃y: ∀x: (y > x ∧ prime(y))

(全ての (整数) x より大きい素数 y が存在する)

素数の無限の数の証明

• 最大の素数 z を想定
  (∃z: prime(z) ∧ ∀y: prime(y) → y≤z)
• t = 1 + ∏^z_p=2(prime(p)) p を計算
  具体例: z=7; t = 1+2·3·5·7 = 211
• ∀x<z: prime(x)→t mod x =1 ⇒

  prime(t) ∨ ∃s: (z<s<t ∧ prime (s)) ⇒

  ∃y: (y > x ∧ prime (y))

量記号の性質の具体例: 述語などの定義

U = S: 情報数学 I を受講する学生

age(s): 学生の年齢 (満何歳)

college(s): 学生の在籍学部 (例: 理工)

female(s), male(s): 学生が女性である、男性である

from(s, k): s が k 出身である (簡単なため、k が都道府県又は「abroad」)

具体例 1

(∀x: P(x)) ∧ (∀x: R(x)) = ∀x: (P(x) ∧ R(x))
例: 全ての学生において、30歳以下である、かつ全ての学生において、理工学部在籍である = 全ての学生において、30歳以下かつ理工学部在籍である

(∀s: age(s)≤30) ∧ (∀s: college(s)=理工) = ∀s: (age(s)≤30 ∧ college(s)=理工)

注: s が三回別々に束縛されているため、三回別変数 (以下同様)
(∀s: age(s)≤30) ∧ (∀t: college(t)=理工) = ∀u: (age(u)≤30 ∧ college(u)=理工)

具体例 2

(∀x: P(x)) ∨ (∀x: R(x)) → ∀x: (P(x) ∨ R(x))
左から右への例: 全ての学生において、30歳以上である、又は全ての学生において、理工学部在籍である → 全ての学生において、30歳以上又は理工学部在籍である
(∀s: age(s)≤30)) ∨ (∀s: college(s)=理工) → ∀s: (age(s)≤30) ∨ college(s)=理工)

右から左への反例: 全ての学生において、男性である又は女性である
しかし、全ての学生が男性である、又は全ての学生が女性であるが偽

(∀s: male(s)) ∨ (∀s: female(s)) ↚ ∀s: (male(s) ∨ female(s))

具体例 3

(∃x: P(x)) ∨ (∃x: R(x)) = ∃x: P(x) ∨ R(x)
例: ある学生において、東京都出身である、又はある学生において神奈川県出身である = ある学生において、東京都出身である又は神奈川県出身である

(∃s: from(s, Tokyo)) ∨ (∃s: from(s, Kanagawa)) = ∃s: (from(s, Tokyo)) ∨ from(s, Kanagawa))

具体例 4

(∃x: P(x)) ∧ (∃x: R(x)) ← ∃x: P(x) ∧ R(x)
右から左への例: ある学生において、広島県出身であるかつ女性である → ある学生において、広島県出身である、かつある学生において、女性である
(∃s: from(s, Hiroshima)) ∧ (∃s: male(s)) ← ∃s: (from(s, Hiroshima) ∧ male(s))

左から右へな反例: ある学生において、北海道出身であるかつある学生において女性である
ある学生において北海道出身であるかつ女性であるとは限らない

(∃s: from(s, Hokkaido)) ∧ (∃s: female(s)) ↛ ∃s: (from(s, Hokkaido) ∧ female(s))

応用分野の知識

• 命題論理は、論理の知識・公理・定理・性質のみ可能
• 述語論理では応用分野の知識・公理・定理・性質も必要
• 例: 自然数についての述語論理: ペアノ定理など
• 例: 集合についての述語論理: 集合演算の性質
• 例: 集合の大きさなど: 自然数と集合演算両方についての知識
• 具体例:

  ∀s: (male(s) ∨ female(s))

  ∀s: ¬(male(s) ∧ female(s))

  ∀s∈S: (∃k∈K: from(s, k) ∧(∀h∈K: h=k ∨¬from(s, h)))